题目内容
【题目】有些知识我们可能没有学过，但运用我们已有的物理思想和科学方法，通过必要的分析和推理可以解决一些新的问题。例如简谐运动是我们研究过的一种典型运动形式，它的一个特征是质点运动时，位移与时间的关系遵从正弦函数规律，呈现出周期性，其运动的周期
，式中m为振动物体的质量，k为回复力与位移间的比例系数。
(1)试证明在小角度下，单摆做简谐运动，并根据简谐运动周期的公式推导出单摆振动频率f的表达式（已知单摆的摆长为L、摆球质量为m、当地重力加速度为g）；
(2)在弹吉他时，当拨动琴弦时，琴弦会发生振动，琴弦振动的频率f由琴弦的质量m、长度L和张力F共同决定，假设琴弦振动时，振幅很小，且琴弦的张力保持不变，
a．请通过分析，写出琴弦振动的频率f与琴弦的质量m、长度L和张力F的关系式；
b．现将此琴弦的长度裁剪为原来的一半，试求琴弦振动的频率将变为多少？
（注：严格的说，琴弦上的驻波会形成多种频率的振动的叠加。此题中我们不考虑其他驻波的影响，即只需关注琴弦上基波的频率。不懂驻波的同学可以不用管这一条注释，不影响解题）
(3)简谐运动也具有一些其他特征，如简谐运动质点的运动速度v与其偏离平衡位置的位移x之间的关系就都可以表示为
，其中
为振动质点通过平衡位置时的瞬时速度，a为由系统本身和初始条件所决定的不变的常数。我们曾利用此式证明了双弹簧振子的运动是简谐运动。
现在对一个LC振荡电路，请证明电路中电容器极板上的电荷量随时间的变化满足简谐运动的规律（即电荷量与时间的关系遵从正弦函数规律），并求出电磁振荡频率f的表达式。已知电感线圈中磁场能的表达式为
，式中L为线圈的自感系数，I为线圈中电流的大小；电容器中电场能的表达式为
。
【答案】(1)
；(2)a．
，b．
；(3)
，
【解析】
(1)对摆球受力分析如图
单摆摆球的重力沿着切线方向的分力提供回复力，该力的大小为
F=mgsinθ
由于θ＜5°，故
故
方向总是指向平衡位置，故
F回=-kx
而常数
，代入简谐运动的周期公式
，可得单摆的周期公式
单摆的振动频率为
联立解得
(2)a．频率f的单位是
，质量m的单位是kg，长度L的单位是m，弹拨力F的单位是
从单位方面分析只有
组合才能得到频率的单位。增加一个系数c可得公式
b．现将此琴弦的长度裁剪为原来的一半，有
可得
则有
(3)由简谐振动过程中的机械能守恒，有
整理可得
故常数为
由弹簧振子的振动周期，结合
可得
而LC振荡电路的总能量包括电容器的电场能和电感线圈中的磁场能，其总能量是守恒的，有
整理可得
而电容器的电荷量
代入可得
与
类比可知，电荷量q类比为位移x，电流I类比为速度v，因电流关于时间成正弦函数规律，可推得电荷量随时间的变化满足简谐运动的规律，而常数为
根据弹簧振子的周期为
代入可知
由周期可知电磁振荡的频率公式为
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