Question

6．质量m=2kg的小滑块，在一个固定的半径为0.9m的竖直圆形轨道内运动，从最低点运动到最高点并能通过最高点，小滑块可以看成质点，它与轨道内壁的摩擦因数为μ=0.5．求：
（1）小滑块能通过最高点B时，到B点的速度至少多大？
（2）若小滑块到达最高点B时速度大小为3.6m/s，则此时它对轨道的压力多大？
（3）若小滑块到达最低点A时速度大小为3.6m/s，则此时它受的摩擦力多大？
（4）第（3）问中小滑块此时的加速度多大？

Answer 1

分析 （1）（2）（3）对要研究的点对物体受力分析，根据牛顿运动定律列式求解即可；
（4）分别求出水平方向和竖直方向加速度，然后合成的合加速度．

解答 解：（1）小滑块恰能通过最高点B，则：mg=$\frac{m{v}^{2}}{r}$
即v=$\sqrt{gr}$=$\sqrt{10×0.9}$=3m/s
（2）若小滑块到达最高点B时速度大小为3.6m/s，则此时：N+mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
N=m$\frac{{v}^{2}}{r}$-mg=2×$\frac{3．{6}^{2}}{0.9}$-2×10=8.8N
根据牛顿第三定律知滑块对轨道压力为8.8N
（3）若小滑块到达最低点A时速度大小为3.6m/s，
则此时有：N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
N=mg+m$\frac{{v}^{2}}{r}$=2×10$+2×\frac{3．{6}^{2}}{0.9}$=4.8N
摩擦力为：f=μN=0.5×38.8N=24.4N
（4）水平方向：
摩擦力产生的加速度为：a′=$\frac{f}{m}$=$\frac{24.4}{2}$=12.2m/s²
竖直方向：向心加速度为：a=$\frac{{v}^{2}}{r}$=$\frac{3．{6}^{2}}{0.9}$=14.4m/s²
故合加速度为：a=$\sqrt{12．{2}^{2}+14．{4}^{2}}$=18.87m/s²
答：（1）小滑块能通过最高点B时，到B点的速度至少3m/s；
（2）若小滑块到达最高点B时速度大小为3.6m/s，则此时它对轨道的压力为8.8N；
（3）小滑块到达最低点A时速度大小为3.6m/s，则此时它受的摩擦力为24.4N；
（4）第（3）问中小滑块此时的加速度为18.87 m/s²．

点评 此题中由于小球只能受到轨道向下的压力，故可以看作绳模型，即小球只有在最高点时重力小于等于向心力才能通过最高点；尤其是最后一问，一定注意加速度不特殊说明是合加速度．