Question

6．一平台的局部如图甲所示，水平面为光滑，竖直面为粗糙，右角上固定一定滑轮，在水平面上放着一质量m_A=2.0kg，厚度可忽略不计的薄板A，薄板A长度L=1.5m，在板A上叠放着质量m_B=1.0kg，大小可忽略的物块B，物块B与板A之间的动摩擦因数为μ=0.6，一轻绳绕过定滑轮，轻绳左端系在物块B上，右端系住物块C，物块C刚好可与竖直面接触．起始时令各物体都处于静止状态，绳被拉直，物块B位于板A的左端点，然后放手，设板A的右端距滑轮足够远，台面足够高，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略滑轮质量及其与轴之间的摩擦，g取10m/s²，求

（1）若物块C质量m_c=1.0kg，推理判断板A和物块B在放手后是否保持相对静止；
（2）若物块C质量m_c′=3.0kg，从放手开始计时，经过去=2.0s，物块C下降的高度；
（3）若物块C质量m_c=1.0kg，固定住物块B，物块C静止，现剪断轻绳，同时也对物块C施加力F，方向水平向左，大小随时间变化如图乙所示，断绳时刻开始计时，经过t′=2.0s，物块C恰好停止运动，求物块C与竖直面之间的动摩擦因数和此过程中的最大速度．

Answer 1

分析 （1）对ABC整体研究，假设一起运动，根据牛顿第二定律求出加速度，再隔离分析求出AB间的摩擦力，与最大静摩擦力比较，判断是否保持相对静止．
（2）通过整体隔离分析得出A与B发生相对滑动，根据牛顿第二定律分别求出A、B的加速度，结合运动学公式进行求解．
（3）通过牛顿第二定律得出C加速度的表达式，作出图线，结合图线与时间轴围成的面积进行求解．

解答 解：（1）设ABC一起运动，以ABC为系统，根据牛顿第二定律：
m_Cg=（m_A+m_B+m_C）a₁，
代入数据解得：${a}_{1}=2.5m/{s}^{2}$，
对A，根据牛顿第二定律：f=m_Aa₁=2×2.5N=5N，
AB间最大静摩擦力：f_m=μm_Bg=6.0N，
由于f＜f_m，假设成立，A与B相对静止．
（2）设ABC一起运动，以ABC为系统，根据牛顿第二定律有：
m_C′g=（m_A+m_B+m_C′）a₂，
代入数据解得：${a}_{2}=5.0m/{s}^{2}$，
对A，根据牛顿第二定律得：f′=m_Aa₂=2×5N=10N，
由于f′＞f_m，假设不成立，A与B相对滑动．
对A，根据牛顿第二定律，μm_Bg=m_Aa_A，代入数据解得：${a}_{A}=3.0m/{s}^{2}$，
对BC为系统，根据牛顿第二定律：
m_C′g-μm_Bg=（m_B+m_C′）a_B，
代入数据解得：${a}_{B}=6.0m/{s}^{2}$．
设经t₁时间B运动到A的右端，则有：$\frac{1}{2}{a}_{B}{{t}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{A}{{t}_{1}}^{2}=L$，
代入数据解得：t₁=1.0s．
B第一段的位移：${s}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{B}{{t}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}×6×1m=3m$．
经t₁时间B运动的速度：v₁=a_Bt₁=6×1m/s=6m/s，
B在光滑平面上滑动，对BC为系统，根据牛顿第二定律：
m_C′g=（m_B+m_C′）a_B′，
代入数据解得：${a}_{B}′=7.5m/{s}^{2}$，
B第二段的位移为：${s}_{2}={v}_{1}（t-{t}_{1}）+\frac{1}{2}{a}_{B}（t-{t}_{1}）^{2}$，
代入数据解得：s₂=9.75m，
物块C下降的高度：h=s₁+s₂=3+9.75m=12.75m．
（3）设C与竖直面的动摩擦因数为μ′，
令k=20N/s，
根据图乙可得，F=kt，
对C水平方向：N=F，
C受摩擦力f_C=μ′N，
以C为对象，有：m_Cg-f_C=m_Ca_C，
联立解得：${a}_{C}=g-\frac{μ′kt}{{m}_{C}}=（10-20μ′t）m/{s}^{2}$，
由上式可得如图的图象，t=t′=2s，物块v=0，则：${a}_{C}=-10m/{s}^{2}$，
代入数据解得：μ′=0.5．
由图可知t=1s时速度最大，最大速度等于图线与坐标轴围成的面积，有：${v}_{m}=\frac{1}{2}×1×10m/s=5m/s$．
答：（1）A与B相对静止．
（2）物块C下降的高度为12.75m．
（3）物块C与竖直面之间的动摩擦因数为0.5，此过程中的最大速度为5m/s．

点评 本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，涉及多过程问题，难度较大，综合性较强，关键理清物体的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．对于第三问，得出C的加速度表达式是关键，知道a-t图线围成的面积表示速度的变化量．