Question

13．两根平行相距为L的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面，导轨的水平部分光滑．质量为m、电阻为R的金属细杆ab静止在水平导轨上．完全相同的金属杆cd被弹簧片托住紧贴竖直导轨静止，两金属杆与导轨垂直接触形成闭合回路，cd杆与竖直导轨之间的动摩擦因数为μ，导轨电阻不计．整个装置处于磁感应强度大小为B，方向竖直向上的匀强磁场中．现用平行于水平导轨的恒力F（大小未知）作用在ab杆上使ab杆由静止开始向右运动，同时松开弹簧片释放cd杆，过一段时间后，两金属杆同时达到最大速度，重力加速度为g，求：
（1）杆ab的最大速度v；
（2）拉力F的大小；
（3）若ab杆从开始运动到获得最大速度移动过的距离为x，求此过程中cd杆上产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）当ab杆速度达到最大后，ab和cd杆均处于平衡状态，分别取cd杆、ab杆为研究对象根据平衡条件结合安培力、滑动摩擦力的计算公式可求解出ab杆的最大速度v和拉力F的大小
（2）根据能量守恒定律可求解出电路中产生的焦耳热进而可以求解出cd杆上产生的焦耳热

解答 解：（1）取cd棒为研究对象，则有：
μBIL=mg…①
$I=\frac{E}{2R}$…②
E=BLv…③
由①②③解得：
v=$\frac{2mgR}{μ{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）取ab棒为研究对象，则有：
F=BIL…④
由①④可得F=$\frac{mg}{μ}$
（3）由能量守恒定律得：
Fx=Q_总+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
Q=$\frac{1}{2}$Q_总
解得：Q=$\frac{mgx}{2μ}$-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{{μ}^{2}{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）杆ab的最大速度为$\frac{2mgR}{μ{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）拉力F的大小为$\frac{mg}{μ}$
（3）若ab杆从开始运动到获得最大速度移动过的距离为x，求此过程中cd杆上产生的焦耳热Q为$\frac{mgx}{2μ}$-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{{μ}^{2}{B}^{4}{L}^{4}}$

点评 （1）本题考查了物体的平衡、安培力的计算、闭合电路欧姆定律、感应电动势的计算和能量守恒定律
（2）当ab杆速度达到最大后，ab和cd杆均处于平衡状态是本题的突破口
（3）根据能量守恒定律求解电路中产生的焦耳热是常用的方法，同时要注意cd杆上产生的焦耳热不同于电路中产生的焦耳热