Question

17．人类发射的空间探测器进入某行星的引力范围后，绕该行星做匀速圆周运动，已知该行星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高为h处，运行周期为T，引力常量为G．求：
（1）该行星的质量；
（2）探测器绕该行星运行时线速度的大小．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力即可求解行星质量；
（2）由圆周运动的公式$v=\frac{2πr}{T}$求线速度；

解答 解：（1）探测器绕行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有：
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得行星的质量：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）由$v=\frac{2πr}{T}$
得：$v=\frac{2π（R+h）}{T}$
答：（1）该行星的质量为$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）探测器绕该行星运行时线速度的大小$\frac{2π（R+h）}{T}$

点评 解决此题的关键是一定明确万有引力提供向心力，会用周期表示向心力，同时注意公式间的化简．