Question

7．如图所示，倾角为θ=30^o的光滑斜面上有固定挡板AB，斜面上B、C 两点间高度差为h．斜面上叠放着质量均为m的薄木板和小物块，木板长为L，下端位于挡板AB处，整体处于静止状态．木板和物块两者间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．重力加速度为g． 
（1）若木板和物块一起以某初速度沿斜面向上运动，木板上端恰能运动到C点，求初速度大小v₀；
（2）若对木板施加沿斜面向上的拉力，为使木板上滑且与物块间没有相对滑动，求拉力应满足的条件；
（3）若给木板施加大小为F=2mg、方向沿斜面向上的拉力，此后运动过程中小物块始终未脱离木板，要使木板上端恰能运动到C点，求拉力F作用的时间t₁．

Answer 1

分析 （1）木板和小物块整体向上滑动的过程，由动能定理求初速度大小v₀；
（2）对木板施加沿斜面向上的拉力，木板与物块间恰好没有相对滑动，两者间的静摩擦力达到最大值，对整体和物块分别运用牛顿第二定律列式，结合摩擦力公式求拉力应满足的条件．
（3）物块相对木板滑动过程中，由牛顿第二定律求出物块和木板的加速度．由速度公式求出两者达到相同速度的时间．共速后两者一起帮匀减速运动，结合位移时间公式求拉力F作用的时间t．

解答 解：（1）研究木板和小物块整体，由动能定理有
-2mg（h-Lsinθ）=0-$\frac{1}{2}•2m{v}_{0}^{2}$
解得  v₀=$\sqrt{g（2h-L）}$
（2）设物块沿斜面向上运动的最大加速度为a，最大拉力为F_m，则
μmgcosθ-mgsinθ=ma
对整体有  F_m-2mgsinθ=2ma
解得  F_m=1.5mg
要使整体能沿斜面上升应满足  F＞2mgsinθ=mg
所以  mg＜F≤1.5mg
（3）物块相对木板滑动过程中，设物块的加速度为a₁，有拉力作用时木板的加速度为a₂，撤去拉力后木板的加速度大小为a₃，则
对物块  μmgcosθ-mgsinθ=ma₁．
对木板  F-mgsinθ-μmgcosθ=ma₂．
     mgsinθ+μmgcosθ=ma₃．
解得 a₁=$\frac{1}{4}$g，a₂=$\frac{3}{4}$g，a₃=$\frac{5}{4}$g
在t₁时刻小物块的速度为v₁，木板的速度v₂，则
  v₁=a₁t₁，v₂=a₂t₁．
设撤去拉力后，经过时间t₂二者速度相同，则
   v₃=v₂-a₃t₂=v₁+a₁t₂
此后二者一起匀减速上滑，设加速度大小为a₄，则
   2mgsinθ=2ma₄．
全过程中木板的位移  x=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$+a₂t₁t₂-$\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{2}^{2}$+$\frac{{v}_{3}^{2}}{2{a}_{4}}$
由几何关系有  $\frac{h}{sinθ}$=x+L
联列解得拉力F作用的时间 t₁=$\sqrt{\frac{3（2h-L）}{2g}}$ 
答：（1）初速度大小v₀是$\sqrt{g（2h-L）}$．
（2）拉力应满足的条件是mg＜F≤1.5mg．
（3）拉力F作用的时间t₁是$\sqrt{\frac{3（2h-L）}{2g}}$．

点评 在应用牛顿运动定律和运动学公式解决问题时，要注意物体运动过程的分析，同时要把握隐含的临界条件，如两个物体间刚要相对滑动时静摩擦力达到最大．物块在木板上滑行时要考虑速度相同的状态．