题目内容

16．如图所示，光滑的AB杆上套一轻质弹簧，弹簧一端与杆下端连接于固定的转轴，另一端与套在杆上质量为m的小球连接．已知AB杆足够长，弹簧的原长为l0，劲度系数为k，OO'为过B点的竖直线，
杆与水平面间的夹角始终为θ．已知弹簧的弹性势能公式为Ep=$\frac{1}{2}$kx2其中k为劲度系数，x为弹簧的形变量．
（1）若杆保持静止状态，让小球从弹簧的原长位置由静止释放，求小球速度最大时弹簧的弹性势能；
（2）当球随杆一起绕OO'匀速转动时，转动角速度不同弹簧的长度就会不同，已知球随杆一起以足够大的角速度?转动，且在稳定的情形下弹簧处于伸长状态，小球在水平面内做匀速圆周运动．求此时弹簧伸长量．

分析 （1）小球从弹簧的原长位置静止释放时，小球速度最大时其加速度为零，根据合力为零和胡克定律求解弹簧的压缩量△l1，再求弹簧的弹性势能．
（2）设弹簧伸长△l2时，对小球受力分析，根据向心力公式列式求解．

解答 解：（1）当小球速度最大时，有：：k△l1=mgsinθ
解得弹簧的压缩量为：△l1=$\frac{mgsinθ}{k}$
故小球速度最大时弹簧的弹性势能 Ep=$\frac{1}{2}$k△l12=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}θ}{2k}$
（2）设弹簧伸长量为△l2，在水平方向上有：
水平方向上有  FNsinθ+k△l2cosθ=mω2（l0+△l2）
竖直方向上有  FNcosθ=k△l2sinθ+mg
解得：△l2=$\frac{m{l}_{0}{ω}^{2}co{s}^{2}θ-mgsinθ}{k-m{ω}^{2}co{s}^{2}θ}$
答：
（1）小球速度最大时弹簧的弹性势能为$\frac{{m}^{2}{g}^{2}si{n}^{2}θ}{2k}$．
（2）此时弹簧伸长量为$\frac{m{l}_{0}{ω}^{2}co{s}^{2}θ-mgsinθ}{k-m{ω}^{2}co{s}^{2}θ}$．

点评 本题考查了牛顿第二定律、胡克定律与圆周运动的综合，要明确小球做匀速转动时，靠合力提供向心力，由静止释放时，加速度为零时速度最大．

练习册系列答案
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