Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的场强为E匀强电场，第Ⅳ象限的某个矩形区域内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度为B．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（不计粒子重力）从y轴上的M点以v₀速度垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成30°角立即射入磁场，经磁场偏转后通过y轴上的P点，经过P点时的速度方向与y轴负方向成60°．求：
（1）ON之间的距离；
（2）在磁场中做圆周运动的轨道半径；
（3）磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析：（1）粒子在坐标轴第一象限做类平抛运动，已知类平抛的初速度v₀，和离开电场时的速度方向与x轴方向成30°角，根据类平抛运动规律和几何关系即可求得ON之间的距离；
（2）根据初速度可以求出粒子进入磁场的初速度v，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，已知速度v和磁感应强度B，可得粒子做圆周运动的轨道半径r；
（3）根据几何关系求出矩形磁场两个边界的最小值，根据面积公式即可求解．

解答：解：（1）粒子在坐标轴第一象限做类平抛运动，根据几何关系得：

vy

v0

=tan30°…①
沿电场方向做匀加速直线运动，则v_y=at…②
根据牛顿第二定律得：
qE=ma…③
垂直电场方向有：s_ON=v₀t…④
由①②③④解得：sON=

3 m v 2 0

3Eq

…⑤
（2）根据几何关系得：
v=

v0

cos30°

…⑥
洛伦兹力提供向心力得：
qvB=

mv2

r

…⑦
由⑥⑦解得：r=

2m v   0

3 qB

…⑧
（3）磁场的区域的一边长l1=r-rcos60°=

r

2

另一边长l2=2rsin60°=

3

r
所以面积S=l₁l₂=

2 3 m2v02

3q2B2

答：（1）ON之间的距离为

3 m v 2 0

3Eq

；
（2）在磁场中做圆周运动的轨道半径为

2m v   0

3 qB

；
（3）磁场区域的最小面积为

2 3 m2v02

3q2B2

．

点评：掌握平抛运动的处理方法并能运用到类平抛运动中，粒子在磁场中做匀速圆周运动，能正确的画出运动轨迹，并根据几何关系确定各量之间的关系．