Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy的第II、III象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，场强E=50V/m；一圆心在O₁点，半径R=5cm的绝缘弹性圆筒在与y轴切点O处开有小孔a，筒内有垂直纸面向里的匀强磁场．现从P（-10cm，-5cm）处沿与x轴正向成45°方向发射比荷q/m=2×10³C/kg的带正电粒子，粒子都恰能通过原点O沿x轴正向射出电场并进入磁场．不计粒子重力，试求：
（1）粒子在P点的发射速度v；
（2）若粒子进入圆筒后与圆筒发生四次碰撞后又恰从孔a射出磁场，已知该带电粒子每次与圆筒发生碰撞时电量和能量都不损失，求磁感应强度B的大小．（可用三角函数表示）

Answer 1

分析：（1）粒子从P点斜向上到达O点的过程做匀变速的曲线运动，它的逆过程可以看做是从O到P的类平抛运动，所以平抛运动的规律即可求得粒子的发射速度．
（2）带电粒子进入磁场中作匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力．由题，带电粒子每次与筒壁发生碰撞时电量和能量都不损失，每次碰撞前后粒子速度大小不变、速度方向总是沿着圆筒半径方向，粒子与圆筒壁4个碰撞点与小孔a恰好将圆筒壁五等分，根据对称性，由几何知识求出轨迹圆弧对应的圆心角，即可求出轨迹半径，由牛顿第二定律求出磁感应强度B．

解答：解：（1）粒子在电场中运动的加速度：a=

qE

m

=

q

m

?E=1×105m/s2
粒子在O点时的速度为v₀，则由平抛运动的规律可得：L=v₀t=10cm
y=

1

2

at2=5cm
代入数据解得：v₀=100m/s
粒子在P点的速度：v=

2

v0=100

2

m/s
（2）带电粒子在磁场中作匀速圆周运动，qvB=m

v 2 0

r

…①
得：B=

mv0

qr

…②
由于带电粒子与圆筒壁碰撞时无电量和能量损失，那么每次碰撞前后粒子速度大小不变、速度方向总是沿着圆筒半径方向，4个碰撞点与小孔a恰好将圆筒壁五等分，粒子在圆筒内的轨迹具有对称性，由5段相同的圆弧组成，设每段轨迹圆弧对应的圆心角为θ，则由几何关系可得：

r

R

=tan

θ

2

解得，R=

r

tan θ 2

…③
有两种情形符合题意（如图所示）：
Ⅰ情形1：每段轨迹圆弧对应的圆心角为：
θ=π-

2π

5

=

3π

5

联立②③并代入θ值得：B=

tan 3π 10

r

?

mv0

q

…④
将数据代入④式得：B1=cot

π

5

T…⑤
Ⅱ情形2：每段轨迹圆弧对应的圆心角为：θ=π-

4π

5

=

π

5

联立②③并代入θ值及数据得：B2=cot

2π

5

T
答：（1）粒子在P点的发射速度为100

2

m/s；
（2）若粒子进入圆筒后与圆筒发生四次碰撞后又恰从孔a射出磁场，磁感应强度B的大小为B1=cot

π

5

T或B2=cot

2π

5

T．

点评：本题的解题关键是抓住对称性，由几何知识得到粒子的轨迹半径与圆筒半径的关系，画出粒子运动的轨迹是分析的基础．