题目内容
【题目】地心隧道是根据凡尔纳的《地心游记》所设想出的一条假想隧道,它是一条穿过地心的笔直隧道,如图所示。假设地球的半径为R,质量分布均匀,地球表面的重力加速度为g。已知均匀球壳对壳内物体引力为零。
(ⅰ)不计阻力,若将物体从隧道口静止释放,试证明物体在地心隧道中的运动为简谐运动;
(ⅱ) 理论表明:做简谐运动的物体的周期T=2π,其中,m为振子的质量,物体的回复力为F=-kx。求物体从隧道一端静止释放后到达另一端需要的时间t (地球半径R = 6400km,地球表面的重力加速为g = 10m/ s2 )。
【答案】(i)F回=-G 又M′= 解得F回= 而为常数,即物体做简谐运动。(ii)t=2512s
【解析】
(i)以地心为平衡位置,设某时刻物体偏离平衡位置的位移为x,万有引力提供回复力,则有
F回=-G
又M′=
解得:
F回=
而为常数,即物体做简谐运动。
(ii)在地球表面,万有引力等于重力
地球的质量为M=
又T=2π
解得T=2π
物体从隧道一段静止释放后到达另一端需要的时间为半个周期,则
t=
代入数据,可得t=2512s
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