Question

13．如图，空间某区域存在宽度为5d=0.4m竖直向下的匀强电场，电场强度为0.1V/m，在电场中还存在3个磁感应强度方向垂垂直向里的匀强磁场区域，磁感应强度为0.1T，一带负电小球从离磁场1上边界h=0.2m的A处自由下落，带电小球在这个有电场和磁场的区域运动．已知磁场宽度为d=0.08m，两个磁场相距也为d，带电小球质量为m=10^-5kg，小球带有的电荷量为q=-10^-3C．求：
（1）小球刚进入电场磁场区域时的速度；
（2）小球第一次离开磁场1时的速度及穿过磁场1、磁场2所用的总时间；
（3）带电小球能回到与A同一高度处吗？如不能回到同一高度．请你通过计算加以说明；如能够回到同一高度，则请求出从A处出发开始计时到回到同一高度的最少时间．（假设磁场电场区域足够长，g=10m/s²，$\sqrt{0.84}$=0.92）

Answer 1

分析 （1）微粒做自由落体运动，机械能守恒，由机械能守恒定律可以求出微粒的速度．
（2）微粒在磁场中做匀速圆周运动，求出微粒所转过的圆心角，然后求出运动时间．
（3）求出微粒在各区域运动的时间，然后求出微粒的总运动时间．

解答 解：（1）微粒在进入电场磁场区域之前为自由落体运动，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv²=mgh，
代入数据解得：v=2m/s，方向竖直向下；
（2）微粒进入电场磁场区域时，始终受到重力、电场力作用，但重力、电场力始终大小相等，方向相反，因此，微粒在电场磁场区域运动时可以不考虑这两个力的影响．微粒在磁场1中运动时只考虑洛伦兹力的作用．
微粒在磁场1中做匀速圆周运动，洛伦兹力对微粒不做功，微粒速度大小不变，微粒离开磁场1时速度大小v=2m/s，
假设微粒在磁场1中运动时圆弧对应的圆心角为θ₁，

粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
代入数据解得：r=0.2m，
sinθ₁=$\frac{d}{r}$=$\frac{0.08}{0.2}$=0.4，所以带电微粒离开磁场1时速度方向为与竖直方向的夹角为θ₁，
微粒在磁场1和磁场2中运动时的两端圆弧半径相等，两端圆弧对接后所对的圆心角为θ₂，
则sinθ₂=$\frac{2d}{r}$=$\frac{2×0.08}{0.2}$=0.8，则θ₂=53°，时间t=$\frac{{θ}_{2}}{360°}$T，T=$\frac{2πm}{qB}$，
代入数据解得：t=0.092s；
（3）分析微粒在电场磁场区域的运动情况，微粒可以回到与A等高的位置．
在三个磁场中运动的总时间为半个圆周运动周期，t₁=$\frac{πm}{qB}$
代入数据解得：t₁=0.314s，
微粒在电场磁场区域的上方运动的总时间为：t₂=2$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
代入数据解得：t₂=0.4s，
微粒在磁场1和磁场2之间的电场中运动为匀速直线运动，
总时间为t₃=2$\frac{d}{vcos{θ}_{1}}$，
代入数据解得：t₃=0.087s，
微粒在磁场3和磁场2之间的电场中运动也为匀速直线运动，
总时间为t₄=2$\frac{d}{vcos{θ}_{2}}$，
代入数据解得：t₃=0.133s，
所以，微粒要回到与A等高处的最少时间：t=t₁+t₂+t₃+t₄，
代入数据解得：t=0.934s；
答：（1）小球刚进入电场磁场区域时的速度为2m/s；
（2）小球第一次离开磁场1时的速度大小是2m/s，速度方向为与竖直方向的夹角为crcsin0.4；穿过磁场1磁场2所用的时间0.092s；
（3）带电小球能回到与A同一高度处；从A处出发开始计时到回到同一高度的时间为0.934s．

点评 本题考查了带电微粒的运动，微粒运动过程较为复杂，分析清楚微粒的运动过程是正确解题的前提与关键，应用机械能守恒定律、牛顿第二定律等即可正确解题，要注意数学知识的应用．