Question

20．为了验证机械能守恒定律，小明设计了如图甲所示的实验，将一长为L的气垫导轨如图甲所示固定在一平台上，将一宽度为b的遮光条固定在小车上，经测量可知遮光条和小车的总质量为M，气垫导轨的顶端到平台的高度为h，将一质量为m的钩码通过质量不计的细线与小车相连，并跨过图甲中的摩擦不计的定滑轮，将一光电门固定在气垫导轨上，光电门到气垫导轨顶端的距离为x．将小车由气垫导轨的顶端静止释放，小车沿气垫下滑，经测量遮光条的挡光时间为t，重力加速度用g表示．请回答下列问题：
（1）上述过程中小车和钩码的重力势能减少了$（\frac{h}{L}M-m）gx$，小车和钩码的动能增加了$\frac{1}{2}（M+m）\frac{{b}^{2}}{{t}^{2}}$，如果在误差允许的范围内系统的机械能守恒，则$\frac{1}{{t}^{2}}$关于x的表达式为$\frac{1}{t^2}=\frac{2（hM-Lm）g}{{（M+m）L{b^2}}}x$．

Answer 1

分析 根据下降的高度求出系统重力势能的减小量，根据极短时间内的平均速度等于瞬时速度求出小车通过光电门的速度，从而得出系统动能的增加量．
根据机械能守恒得出$\frac{1}{{t}^{2}}$与x的关系式．

解答 解：气垫导轨的倾角正弦$sinθ=\frac{h}{L}$，则小车下滑的高度H=$xsinθ=\frac{xh}{L}$，则系统重力势能的减小量△E_p=MgH-mgx=$（\frac{h}{L}M-m）gx$；
小车通过光电门的瞬时速度v=$\frac{b}{t}$，则小车和钩码动能的增加量△E_k=$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$=$\frac{1}{2}（M+m）\frac{{b}^{2}}{{t}^{2}}$．
若系统机械能守恒，有：$（\frac{h}{L}M-m）gx$=$\frac{1}{2}（M+m）\frac{{b}^{2}}{{t}^{2}}$，解得  $\frac{1}{t^2}=\frac{2（hM-Lm）g}{{（M+m）L{b^2}}}x$．
故答案为：$（\frac{h}{L}M-m）gx$； $\frac{1}{2}（M+m）\frac{{b}^{2}}{{t}^{2}}$；    $\frac{1}{t^2}=\frac{2（hM-Lm）g}{{（M+m）L{b^2}}}x$

点评 本题考查了系统机械能守恒问题，注意在运动的过程中，小车重力势能减小，钩码重力势能增加，知道极短时间内的平均速度等于瞬时速度．