Question

15．如图，ABCD轨道固定在竖直平面内，AB是半径R₁=1m的四分之一圆弧轨道，与水平面相切与B点，CD是半径R₂=0.5m光滑半圆轨道，与水平面相切与C点，BC段动摩擦因数μ=0.3．现一可视为质点的小球，从距离A点正上方高H=2m的O点静止释放后，恰沿A点进入轨道，通过B点时的速度为7m/s，已知小球质量m=0.2kg，不计空气阻力，g=10m/s²求：
（1）小球通过轨道AB过程中摩擦力做的功；
（2）如果小球恰能通过D点，求小球通过C点时轨道对它的支持力F_N；
（3）为保证小球能通过D点，求BC间距离L应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）对OB过程由动能定理可求得摩擦力所做的功；
（2）根据临界条件可求得D点的速度；由机械能守恒定律可求得C点的速度；再由向心力公式可求得支持力；
（3）为保证小球能过最高点，则必须满足临界条件，再由动能定理即可求得条件．

解答 解：（1）小球在OB运动过程中，由动能定理可得：
mg（H+R₁）+W_f=$\frac{1}{2}$mv_B²-0；
解得：W_f=-1.1J；
（2）如果小球恰能通过D点，则由：
mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{{R}_{2}}$
解得：v_D=$\sqrt{5}$m/s；
小球在CD运动过程中，由机械能守恒定律可得：
mg×2R₂=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_D²
解得：v_c=5m/s；
在C点由向心力公式可得：
F_N-mg=$\frac{{v}_{C}^{2}}{{R}_{2}}$；
解得：F_N=12N；
（3）为保证小球能通过D点，则一定有：
v_D≥$\sqrt{g{R}_{2}}$=5m/s；
小球在BD运动过程中，由动能定理可得：
-mg×2R₂-μmgL=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv_B²；
解得：L≤4m
答：（1）小球通过轨道AB过程中摩擦力做的功为-1.1J；
（2）如果小球恰能通过D点，求小球通过C点时轨道对它的支持力F_N为12N；
（3）BC间距离L应满足的条件为L≤4m

点评 本题考查动能定理和向心力公式的正确应用，要注意明确通过最高点的临界条件的应用，同时注意分析物理过程，正确应用动能定理列式求解．