Question

如图所示，左端封闭，右端开口的均匀U型管中用水银封有一段长150mm的空气柱。左臂总长为250mm，右臂足够长。如果将管的开口变为竖直向下，求空气柱的长度。（设大气压为750mmHg）

Answer 1

283.3（cm）

【错解分析】错解：此题是属于气体在等温情况下压强和体积的变化的题，可以利用玻意耳定律求解。
初态：p₁=（750+100）=850（mmHg）
V₁=150S（cm³）
设倒转后左臂空气柱长度增加x，如图所示，

则末态：p₂=（750-100-2x）=（650-2x）（mmHg）
V₂=（150+x）S（cm³）
由玻意耳定律有：p₁V₁=p₂V₂
即：850×150S=（650-2x）（150+x）S
整理得：2x²-350x+30000=0
由数学知识可知，当△=b²-4ac=350²-4×2×3000＜0，方程无解。所以，这道题是一道没有解的题。
在解题时，之所以出现这样的情况，是因为解题者的思维是势导致的错误，上述解法是从空气柱仍在左臂的假设出发的，难道空气就不能进到右臂？显然，认为空气柱仍在左臂的假设是需要重新考虑的。
【正解】在左臂原有空气柱长150mm的情况下，两管之间的水银柱的高度差与U型管倒转后空气柱是否进入右管有关，高度差越大，水银越重，倒转后，空气柱越有可能进入右管。那么，两臂水银面高度差为多大，才能让空气柱仍留在左臂呢？
设初始左、右两臂水银面高度差为h，倒转后空气柱仍在左臂（如图）则：由玻意耳定律有：

（750+h）×150S=（750-h-2x）（150+x）S
整理得：2x²+（h-450）x+300h=0
当△=b²-4ac≥0时，方程有实数解，即（h-450）²-4×2×300h≥0
解得：h≤62.5mm
也就是说，只有当两臂水银面高度差小于或等于62.5mm时，倒转后空气柱才可能仍留在左臂。而本文给出开始时水银面高度差为100mm＞62.5mm，因此，U型管倒转后空气柱会进入右臂。
设右臂足够长，倒转后，水银柱已全部进入右臂如图所示，末状态变为：V₂=（250+y）S   p₂=（750-30）=450（mmHg）

根据玻意耳定律：
850×150S=450×（250+y）S
解得：y=33.3mm
则空气柱的长度为：l=（250+33.3）=283.3（cm）。
【点评】对于一道物理习题，应该从每个数值的物理意义去分析问题，而不能只单纯从数学运算的角度去制定。