Question

11．图示为赛车场的一个“梨形”水平赛道，两个弯道分别为半径R=60m的大圆弧和r=30m的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O、O′距离L=60m．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，重力加速度g=10m/s²，要使赛车绕赛道一周用时最短，下列说法正确的是（　　）

• A． 在小圆弧弯道上的速率为15$\sqrt{3}$m/s
• B． 在大圆弧弯道上的速率为30$\sqrt{3}$m/s
• C． 在直道上的加速度大小为$\frac{15\sqrt{3}}{4}$m/s²
• D． 通过大圆弧弯道的时间为$\frac{4π\sqrt{6}}{3}$s

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律，结合最大静摩擦力提供向心力求出在两个弯道上的最大速度．
赛车在绕过小弯道后加速，根据几何关系求出直道的距离，结合速度位移公式求出加速度．
根据几何关系求出大圆弧的长度，结合运动学公式求出在圆弧上的运动时间．

解答 解：A、在弯道上做匀速圆周运动时，根据牛顿定律有：kmg=$m\frac{{{v}_{m}}^{2}}{r}$，
在小弯道上的最大速度为：${v}_{mr}=\sqrt{kgr}=\sqrt{2.25×10×30}$m/s=$15\sqrt{3}$m/s，故A正确；
B、在大圆弧弯道上的速率为：${v}_{mR}=\sqrt{kgR}$=$\sqrt{2.25×10×60}m/s=15\sqrt{6}m/s$．故B错误；
C、当弯道半径一定 时，在弯道上的最大速度是一定的，且在大弯道上的最大速度大于小弯道上的最大速度，故要想时间最短，故可在绕过小圆弧弯道后加速，直道的长度为：$x=\sqrt{{L}^{2}-{（R-r）}^{2}}=\sqrt{6{0}^{2}-（60-30）^{2}}=30\sqrt{3}$m，
故在在直道上的加速度大小为为：$a=\frac{{v}_{mR}^{2}-{v}_{mr}^{2}}{2x}$=$\frac{1350-675}{2×30\sqrt{3}}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$m/s²，
D、通过大圆弧时间为：${t}_{2}=\frac{\frac{4πR}{3}}{{v}_{mR}}$，代入数据解得：t₂=$\frac{8π\sqrt{6}}{9}$s．故D错误．
故选：AC

点评 解答此题的关键是由题目获得条件：①在弯道上由最大静摩擦力提供向心力②由数学知识求得圆弧的长度，另外还要熟练掌握匀速圆周运动的知识．