Question

如图所示，在光滑的水平面上停放着一辆平板车，在车上的左端放有一木块B．车左边紧邻一个固定在竖直面内、半径为R的

1

4

圆弧形光滑轨道，已知轨道底端的切线水平，且高度与车表面相平．现有另一木块A（木块A、B均可视为质点）从圆弧轨道的顶端由静止释放，然后滑行到车上与B发生碰撞．两木块碰撞后立即粘在一起在平板车上滑行，并与固定在平板车上的水平轻质弹簧作用后被弹回，最后两木块刚好回到车的最左端与车保持相对静止．已知木块A的质量为m，木块B的质量为2m，车的质量为3m，重力加速度为g，设木块A、B碰撞的时间极短可以忽略．求：
（1）木块A、B碰撞后的瞬间两木块共同运动速度的大小．
（2）木块A、B在车上滑行的整个过程中，木块和车组成的系统损失的机械能．
（3）弹簧在压缩过程中所具有的最大弹性势能．

Answer 1

（1）设木块A到达圆弧底端时得速度为v₀，对木块A沿圆弧下滑得过程，根据机械能守恒定律，有：
mgR=

1

2

mv₀²
在A、B碰撞得过程中，两木块组成得系统动量守恒，设碰撞后的共同速度大小为v₁，则：
mv₀=（m+2m）v₁，
解得：v₁=

1

3

2gR

，
（2）A、B在车上滑行的过程中，A、B及车组成的系统动量守恒．A、B滑到车的最左端时与车具有共同的速度，设此时速度大小为v，根据动量守恒定律，有：
（m+2m）v₁=（m+2m+3m）v，
A、B在车上滑行的整个过程中系统损失的机械能为：
△E=

1

2

（m+2m）v₁²-

1

2

（m+2m+3m）v²=

1

6

mgR，
（3）设当弹簧被压缩至最短时，木块与车有相同的速度v₂，弹簧具有最大的弹性势能E，根据动量守恒定律有：
（m+2m）v₁=（m+2m+3m）v₂，
所以有：v₂=v．
设木块与车面摩檫力为f，在车上滑行距离为L，由能量守恒，对于从A、B一起运动到将弹簧压缩至最短的过程有：

1

2

（m+2m）v₁²=

1

2

（m+2m+3m）v₂²+fL+E，
对于从弹簧被压缩至最短到木块滑到车的左端的过程有：

1

2

（m+2m+3m）v₂²+E=

1

2

（m+2m+3m）v²+fL，
解得：E=

1

12

mgR．
答：（1）木块A、B碰撞后的瞬间两木块共同运动速度的大小为

1

3

2gR

；
（2）木块A、B在车上滑行的整个过程中，木块和车组成的系统损失的机械能为

1

6

mgR；
（3）弹簧在压缩过程中所具有的最大弹性势能为

1

12

mgR．