Question

3．如图所示，竖直墙壁上固定一轻质弹簧，轻质弹簧水平放置；A点左侧的水平面光滑，右侧水平面粗糙；在A点右侧x=5m远处竖直放置一半圆形圆管轨道，圆管内壁光滑，轨道半径R=0.4m．现将一质量为m=0.1kg的小滑块放在弹簧的右端（不拴接），用力向左推滑块而压缩弹簧，使弹簧具有E_p弹=2J的弹性势能；放手后，小滑块向右弹出．已知小滑块与A点右侧粗糙水平面间的动摩擦因数μ=0.2．取g=10m/s²．

（1）试求小滑块运动到半圆形圆管轨道最低点B处时对轨道的压力．
（2）若改变半圆形圆管轨道的位置（向左或向右平移），可使得被弹出的小滑块到达半圆形圆管轨道最高点C处时对轨道压力的大小等于滑块的重力，试求此时半圆形圆管轨道最低点B与点A之间的距离．

Answer 1

分析 （1）从小滑块被释放到达B点的过程中，据动能定理列式，在B点根据向心力公式列式，而弹力做的功等于弹簧具有的弹性势，联立方程即可求解；
（2）在圆周最高点C处，滑块对轨道的压力等于其重力，包含两种情况：第一，当压力方向向上（滑块受到的支持力向下），第二，当压力方向向下（滑块受到的支持力向上），在C点根据向心力公式列式，整个过程中根据动能定理列式，联立方程即可求解．

解答 解：（1）设放手后弹簧对小滑块做的功为W_弹，小滑块克服摩擦力做的功为W；运动到半圆形圆管轨道最低点B处时的速度为v_B，受到轨道的支持力为F_N．则
W_弹=E_p弹…①
W=μmgx …②
由动能定理得：W_弹-W=$\frac{1}{2}$mv_B²…③
由牛顿第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{{v_B}^2}}{R}$…④
联立①②③④式，解得：F_N=6N
由牛顿第三定律可得，小滑块运动到半圆形圆管轨道最低点B处时对轨道的压力大小为6N，方向向下．
（2）小滑块到达半圆形圆管轨道最高点C处时对轨道压力的大小等于滑块的重力包含两种情形．
第一种情形：小滑块受到圆管轨道向下的压力．设此时小滑块到达半圆形圆管轨道最高点C处时的速度大小为v_C1，受到圆管轨道向下的压力为F_N1，半圆形圆管轨道最低点B与点A之间的距离为x₁．则
F_N1=mg…⑤
mg+F_N1=m$\frac{{{v_{C1}}^2}}{R}$…⑥
W_弹-μmgx₁-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_C1²…⑦
联立⑤⑥⑦式，代入数据解得：x₁=4m
第二种情形：小滑块受到圆管轨道向上的支持力．设此时小滑块到达半圆形圆管轨道最高点C处时的速度大小为v_C2，受到圆管轨道向上的支持力为F_N2，半圆形圆管轨道最低点B与点A之间的距离为x₂．则
F_N2=mg…⑧
mg-F_N2=m$\frac{{{v_{C2}}^2}}{R}$…⑨
W_弹-μmgx₂-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv_C2²…=10 ⑩
联立⑧⑨=10 ⑩式，代入数据解得：x₂=6m
答：（1）滑块运动到半圆形轨道最低点B处时对轨道的压力为6N；
（2）改变半圆形轨道的位置（左右平移），使得被弹出的滑块到达半圆形轨道最高点C处时对轨道的压力大小等于滑块的重力，则AB之间的距离应调整为4m或6m．

点评 本题是动能定理与向心力公式的综合应用来处理圆周运动问题．利用功能关系解题的优点在于不用分析复杂的运动过程，只关心初末状态即可，平时要加强训练深刻体会这一点．