Question

13．一条长为l的细线上端固定在O点，下端系一个质量为m的带电小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为E，方向水平向右，已知小球在B点时平衡，细线与竖直线的夹角为α，求：
（1）当悬线与竖直方向的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球的速度恰好为零．
（2）当细线与竖直方向成α角时，至少要给小球一个多大的冲量，才能使小球做圆周运动？

Answer 1

分析 （1）根据小球在B点静止，由平衡条件求出电场力大小．小球由静止释放后运动至最低点过程，根据动能定理求解释放时悬线与竖直方向的夹角．
（2）当小球运动到关于B对称的A点时，恰好由重力和电场力的合力提供向心力时，小球能做完整的圆周运动，根据牛顿第二定律求出临界速度，再由动能定理求出小球的初速度，再由冲量和动量关系确定．

解答 解：（1）小球静止在B点时，根据平衡条件得
   qE=mgtanα
设从θ释放，释放点到最低点过程，根据动能定理得
   mgL（1-cosθ）-FLsinθ=0
 得到：sinθtanα+cosθ=1，tanα=$\frac{1}{sinθ}-\frac{cosθ}{sinθ}=tg\frac{θ}{2}$，
解得：θ=2α，
（2）设当小球运动到关于B对称的A点时，临界速度为v_A．根据牛顿第二定律得
 $\sqrt{（Eq）^{2}+（mg）^{2}}$=$m\frac{{v}_{A}^{2}}{L}$
解得：${v}_{A}^{2}=gL\sqrt{1+tg{α}^{2}}$
由A到B过程，根据动能定理得
mg2Lcosα+Eq2Lsinα=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得：v_B=$\sqrt{\frac{4gL}{cosα}+gL\sqrt{1+tg{α}^{2}}}$，
给小球的冲量：I=mv_B=m$\sqrt{\frac{4gL}{cosα}+gL\sqrt{1+tg{α}^{2}}}$，
答：（1）当悬线与竖直方向的夹角为2α，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球的速度恰好为零．
（2）当细线与竖直方向成α角时，至少要给小球一个m$\sqrt{\frac{4gL}{cosα}+gL\sqrt{1+tg{α}^{2}}}$的冲量，才能使小球做圆周运动．

点评 本题是带电粒子在电场和重力场的复合场中运动问题，分析受力情况是基础．对于第（2）问找到类似于竖直平面内圆周运动最高点的条件是关键．