Question

如图所示，质量M=10kg，上表面光滑的足够长的木板在F=50N的水平拉力作用下，以初速度v₀=5m/s沿水平地面向右匀速运动，现有足够多的小铁块，它们的质量均为m=1kg，将一铁块无初速地放在木板的最右端，当木板运动了L=1m时，又无初速地在木板的最右端放上第2块铁块，此后只要木板运动了L就在木板的最右端无初速地放一铁块．试问：（取g=10m/s²）
（1）第1块铁块放上后，木板运动了1时，木板的速度为多大？
（2）最终木板上放有多少块铁块？

Answer 1

分析：（1）开始木板做匀速运动，由平衡条件求出木板受到的滑动摩擦力，然后由滑动摩擦力公式求出动摩擦因数．铁块放在木板上后，木板对地面的压力变大，木板受到的滑动摩擦力变大，由牛顿第二定律和运动学公式结合可以求出即将放上第1块铁块时木板的速度．
（2）运用归纳法分别得到第2块铁块放上后、第3块铁块放上后…第n块铁块放上后木板的速度表达式，得到v_n的表达式，要使木板停下，v_n=0，即可求解．

解答：解：（1）木板最初做匀速直线运动，处于平衡状态，由平衡条件得：
竖直方向：F_N=Mg，
水平方向：F_f=F，
滑动摩擦力F_f=μF_N，则得F=μMg
解得：μ=0.5；
放第1块铁块后，木板做匀减速运动，则有
  μmg=Ma₁；
  2a₁L=

v

2 0

-

v

2 1

代入数据解得，v₁=2

6

m/s
（2）设最终有n块铁块能静止在木板上．
则木板运动的加速度大小为a_n=

μnmg

M

第1块铁块放上后 2a₁L=

v

2 0

-

v

2 1

第2块铁块放上后 2a₂L=

v

2 1

-

v

2 2

…
第n块铁块放上后  2a_nL=

v

2 n-1

-v

2 n

由以上各相加得：（1+2+3+…+n）?2

μmg

M

L=

v

2 0

-

v

2 n

要使木板停下来，必须有v_n=0，代入解得，6＜n＜7
故最终有7块铁块放在木板上．
答：
（1）第1块铁块放上后，木板运动了1时，木板的速度为2

6

m/s．
（2）最终木板上放有7块铁块．

点评：熟练应用平衡条件、摩擦力公式、牛顿第二定律和运动学公式即可正确解题，关键运用归纳法，得到速度的通项．