题目内容
20．
在平面坐标系内，在第1象限内有沿y轴负方向的匀强电场，在第III、IV象限内有垂直坐标平面向外的匀强磁场．在y轴上y=l处沿正x方向发射一比荷为$\frac{q}{m}$、速度为v0的带正电粒子，从x=2l的M点离开电场，经磁场后再次到达x轴时刚好从坐标原点O处经过．不计粒子重力．求：（1）匀强电场的场强E和匀强磁场的磁感应强度B的大小：
（2）粒子从A运动到O经历的时间；
（3）若让该粒子从y上y＞0的任意位置P处沿正x方向发射（发射速度v0不变），求它第二次通x轴时的横坐标．
分析 （1）由粒子在电场中做类平抛运动的水平、竖直位移联立求得电场强度，由粒子在磁场中做圆周运动几何关系得到半径，进而求得磁感应强度；
（2）通过类平抛运动的水平、竖直位移求得其运动时间，再由几何关系求得圆周运动的中心角，进而根据运动周期求得运动时间，在电场、磁场中的运动时间叠加即可得粒子的运动时间；
（3）根据类平抛运动规律，由竖直位移求得水平位移，再由圆周运动的对称性，通过半径求得在x轴上的弦长，进而求得粒子离开磁场的位置，即第二次通过x轴的位置．
解答 
解：（1）粒子在电场中只受电场力作用，做平抛运动，所以，有：
$\left\{\begin{array}{l}{2l={v}_{0}t}\\{l=\frac{1}{2}×\frac{qE}{m}×{t}^{2}}\end{array}\right.$，
所以有：$E=\frac{2ml}{q{t}^{2}}=\frac{2ml{{v}_{0}}^{2}}{4{l}^{2}q}$=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2ql}$；
且由平抛运动的规律可知，粒子在电场中运动的时间为：$t=\frac{2l}{{v}_{0}}$，进入磁场时，速度v的水平分量为：vx=v0，竖直分量为：${v}_{y}=\frac{qE}{m}×\frac{2l}{{v}_{0}}={v}_{0}$，
解得：$v=\sqrt{2}{v}_{0}$；
粒子在磁场中只受洛伦兹力，在洛伦兹力的作用下作圆周运动，所以，粒子运动轨迹如图所示，
则，粒子做圆周运动的半径为：$R=\sqrt{2}l$，
所以，由洛伦兹力作向心力可得：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，
解得：$B=\frac{mv}{qR}=\frac{m{v}_{0}}{ql}$；
（2）由（1）可知，粒子在电场中的运动时间为$\frac{2l}{{v}_{0}}$；
粒子在磁场中转过的中心角为270°，圆周运动的周期为：$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πl}{{v}_{0}}$，
所以，粒子在磁场中的运动时间为：$\frac{270°}{360°}T=\frac{3πl}{2{v}_{0}}$；
所以，粒子从A运动到O经历的时间为$\frac{2l}{{v}_{0}}+\frac{3πl}{2{v}_{0}}=\frac{（4+3π）l}{2{v}_{0}}$；
（3）粒子在电场中只受电场力作用，做平抛运动，所以，有$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}={v}_{0}{t}_{1}}\\{y=\frac{1}{2}×\frac{qE}{m}×{{t}_{1}}^{2}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{4l}{{t}_{1}}^{2}}\end{array}\right.$，所以，${x}_{1}=2\sqrt{yl}$，
所以，粒子在${x}_{1}=2\sqrt{yl}$处以速度v′进入磁场，v′的水平分量为v0，竖直分量为$\sqrt{2×\frac{qE}{m}×y}=\sqrt{\frac{y}{l}}{v}_{0}$；
所以，$v′=\sqrt{\frac{y}{l}+1}{v}_{0}$，所以，粒子运动轨迹如图，
，
所以有，$sinθ=\frac{\sqrt{\frac{y}{l}}{v}_{0}}{\sqrt{\frac{y}{l}+1}{v}_{0}}=\sqrt{\frac{y}{y+l}}$
粒子由洛伦兹力做向心力，所以，$R′=\frac{mv′}{Bq}=\sqrt{\frac{y}{l}+1}l$，
由圆周运动的对称性可知，粒子在磁场中运动在x轴上截得的弦长为$2R′sinθ=2\sqrt{\frac{y}{l}+1}l×\sqrt{\frac{y}{y+l}}=2\sqrt{yl}$；
因为弦长等于入射点的坐标，所以，粒子一定重O点离开磁场，所以，粒子第二次通过x轴时的横坐标为x=0．
答：（1）匀强电场的场强E的大小为$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2ql}$，匀强磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{m{v}_{0}}{ql}$；
（2）粒子从A运动到O经历的时间为$\frac{（4+3π）l}{2{v}_{0}}$；
（3）若让该粒子从y上y＞0的任意位置P处沿正x方向发射（发射速度v0不变），则它第二次通过x轴时的横坐标为0．
点评 求解粒子在磁场中的运动问题，一般要先求出粒子进入磁场的速度大小及方向，然后再根据圆周运动的对称性求得入射点和出射点的关系；若边界不再一条直线上，则只能利用圆弧的特性，对称性质应用的时候形势并不一致．
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