Question

4．一小球以10米/秒的初速度，以60°的抛射角斜向上抛出，试求：
（1）小球在最高点时的切向加速度和法向加速度？此时的轨道曲率半径是多少？
（2）小球下落到与抛出点同一水平面时，它的切向加速度与法向加速度是多少？此时轨道的曲率半径是多少？

Answer 1

分析 （1）对小球在最高点受力分析，求的法相加速度和切向加速度，根据$mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$求的曲率半径
（2）根据物体做斜抛的对称性，求的落地点的速度，根据对加速度g的分解求的法相和切向加速度，根据$mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$求的曲率半径

解答 解：（1）小球做斜抛运动，只在竖直方向受重力，故小球在最高点时的切向加速度为0，法向加速度为g，
在最高点的速度为v=v₀cos60°=5m/s，根据$mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$可得R=$\frac{{v}^{2}}{g}=\frac{{5}^{2}}{10}m=2.5m$
（2）根据做斜抛运动的对称性可知，落地时的速度与水平面的夹角为60°，速度为10m/s，根据加速度的分解可知法相加速度为：${a}_{n}=gsin30°=5m/{s}^{2}$
切向加速度$a′=gcos30°=5\sqrt{3}m/{s}^{2}$
根据$m{a}_{n}=\frac{m{v}^{2}}{R}$得R=$\frac{v{′}^{2}}{{a}_{n}}=\frac{1{0}^{2}}{5}m=20m$
答：（1）小球在最高点时的切向加速度和法向加速度分别为0和g，此时的轨道曲率半径是2.5m
（2）小球下落到与抛出点同一水平面时，它的切向加速度与法向加速度分别是$5\sqrt{3}m/{s}^{2}$和5m/s²，此时轨道的曲率半径是，20m

点评 本题主要考查了加速度的分解和速度的分解，会根据$mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$求的曲率半径即可