Question

如图所示，质量为m=0.1kg可视为质点的小球从静止开始沿半径为R₁=35cm的圆弧轨道AB由A点滑到B点后，进入与AB圆滑连接的1/4圆弧管道BC．管道出口处为C，圆弧管道半径为R₂=15cm，在紧靠出口C处，有一水平放置且绕其水平轴线匀速旋转的圆筒（不计筒皮厚度），筒上开有小孔D，筒旋转时，小孔D恰好能经过出口C处，若小球射出C出口时，恰好能接着穿过D孔，并且还能再从D孔向上穿出圆筒，小球到最高点后返回又先后两次向下穿过D孔而未发生碰撞，不计摩擦和空气阻力，取g=10m/s²，问：
（1）小球到达B点的瞬间前后对轨道的压力分别为多大？
（2）小球到达C点的速度多大？
（3）圆筒转动的最大周期T为多少？

Answer 1

分析：（1）从A到B过程，由动能定理可以求出小球到达B点的速度，然后由牛顿第二定律可以求出小球对轨道的压力．
（2）从B到C过程，由动能定理可以求出小球到达C点时的速度．
（3）分析清楚小球的运动过程，找出小球运动时间与圆筒周期间的关系，应用竖直上抛运动规律可言求出周期最大值．

解答：解：（1）从A到B，由动能定理得：mgR₁=

1

2

mv_B²-0，v_B=

7

m/s，
由牛顿第二定律得：
到达B点瞬间前：N₁-mg=m

v 2 B

R1

，
到达B点瞬间后：N₂-mg=m

v 2 B

R2

，
由牛的第三定律得：小球对轨道的压力为：
N₁′=N₁=3N，N₂′=N₂=5.7N；
（2）从B到C过成中，由动能定理可得：
-mgR₂=

1

2

mv_C²-

1

2

mv_B²，解得：v_C=2m/s；
（3）小球向上穿过圆筒D孔又从D孔向上穿出所用的时间t₁=

2k-1

2

T（k=1、2、3…），
小球向上穿出D孔后竖直上抛又返回到D孔进入圆筒所用时间为2t₂=nT（n=1、2、3…），
由竖直上抛运动规律可得：0=v_C-g（t₁+t₂），所以T=

0.4

2k+n-1

，当k=n=1时，
T有最大值，最大值T_m=0.2s；
答：（1）小球到达B点的瞬间前后对轨道的压力分别为3N、5.7N；
（2）小球到达C点的速度为2m/s；
（3）圆筒转动的最大周期T为0.2s．

点评：熟练应用动能定理或机械能守恒定律即可正确解题，本题最后一问是本题的难点，分析清楚小球运动过程是正确解题的关键．