题目内容

12．为了研究过山车的原理，物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L=2.0m的粗糙的倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的．其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示．一个质量m=1kg小物块以初速度v0=4.0m/s，从某一高处水平抛出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下．已知物块与倾斜轨道的动摩擦因数μ=0.5（g取10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）要使小物块不离开轨道，并从水平轨道DE滑出，求竖直圆弧轨道的半径应该满足什么条件？
（2）为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件？
（3）若R=0.5m，求小物块运动到C点时对轨道压力多大？

分析 （1）从抛出点到A点做平抛运动，根据平抛运动的规律可解得落到A点时竖直方向的速度vy与h的关系，根据竖直方向速度vy与水平方向速度vx的夹角之间的关系，可以解得物块到达A点的速度，从A到B运用动能定理列方程，从B到环的最高点运用机械能守恒列方程，再根据到达最高点的临界条件：$\frac{m{{v}_{p}}^{2}}{R}$≥mg，求半径R．
（2）要使小物块不离开轨道并且能够滑回倾斜轨道AB，则小物体沿圆轨道上升的最大高度不能超过圆心，结合动能定律列式求解．
（3）BC之间是光滑的，物块到达C的速度与到达B的速度相等，结合牛顿第二定律即可求出小物块运动到C点时对轨道压力．

解答 解：（1）小物块做平抛运动，经时间t到达A处时的速度为vA，由速度的分解知：
$cos37°=\frac{{v}_{0}}{{v}_{A}}$
所以：vA=5m/s  
物体落在斜面上后，受到斜面的摩擦力f=μN=μmgcos37°．
小物块做平抛运动，经时间t到达A处时，令下落的高度为h，水平分速度为vx，竖直分速度为vy，
$\begin{array}{l}tan{37°}=\frac{v_y}{v_x}=\frac{gt}{v_0}\\ h=\frac{1}{2}g{t^2}\end{array}$
由以上两式得h=0.45m  
设物块进入圆轨道最高点时有最小速度v1，此时物块受到的重力恰好提供向心力，令此时半径为R0
则：$mg=m\frac{v_1^2}{R_0}$
物块从抛出到圆轨道最高点的过程中：$mg（h+L•sin{37°}-2{R_0}）-μmgcos{37°}•L=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2$
联立上式，解得：R0=0.66m．
所以要使物块从水平轨道DE滑出，圆弧轨道的半径R≤0.66m．
（2）为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB，则物块上升的高度应该小于或等于轨道半径．根据动能定理：
$\begin{array}{l}mg（h+L•sin{37°}）-μmgcos{37°}•L-mgR=0-\frac{1}{2}mv_0^2\\ 解得：R=1.65m\end{array}$
所以要使物块能够滑回倾斜轨道AB，则R≥1.65m．
（3）BC之间是光滑的，物块到达C的速度与到达B的速度相等，A到B的过程中重力和摩擦力做功，由动能定理得：
$\left.\begin{array}{l}{mg（h+L•sin37°）-μmgcos37°•L=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}}\end{array}\right.m{v}_{0}^{2}$
在C点支持力与重力的和提供向心力，所以：
${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{C}^{2}}{R}=\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}$
代入数据得：FN=76N
答：（1）要使小物块不离开轨道，并从水平轨道DE滑出，竖直圆弧轨道的半径应该满足圆弧轨道的半径R≤0.66m；
（2）为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB，则竖直圆轨道的半径应该满足R≥1.65m．
（3）小物块运动到C点时对轨道压力为76N．

点评 此题要求熟练掌握平抛运动、动能定理、机械能守恒定律、圆周运动等规律，包含知识点多，难度较大，属于难题．

练习册系列答案
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（4）同学们在操作过程中有如下议论，其中对减小实验误差有益的说法是B（填字母代号）．
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B．弹簧秤、细绳、橡皮条都应与木板平行
C．用两弹簧同时拉细绳时两细绳必须垂直以便计算出合力
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其中正确的是ABC（填入相应的字母）．
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A．2B．3C．4D．5

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