Question

4．一根长为l的硬质直管弯制成如图所示的竖直放置的等螺距，螺线管（外形类似于弹簧，但是由管道弯制而成），螺线管高为h，管道内径很小，一直径略小于管道内径的光滑小球从上端管口由静止释放，重力加速度为g，关于小球的运动，下列说法正确的是（　　）

• A． 小球在运动过程中受管道的作用力越来越大
• B． 小球在运动过程中受到管道的作用力始终为$\frac{mg\sqrt{{l}^{2}-{h}^{2}}}{l}$
• C． 小球到达下端管口时重力的功率为mg$\sqrt{2gh}$
• D． 小球到达下端的时间为$\sqrt{\frac{2{l}^{2}}{gh}}$

Answer 1

分析 小球在等螺距螺线管中下落时，落到管口的速度根据动能定理可得只与下降的高度有关，重力功率P=mgvcosθ，还与重力与速度的方向的夹角有关，根据运动学公式求的下落时间即可，根据牛顿第二定律求的支持的大小．

解答 解：A、小球得做的是加速螺旋运动，速度越来愈大，做的是螺旋圆周运动，根据${F}_{n}=m\frac{{v}^{2}}{R}$可知，支持力越来越大，故A正确，B错误；
C、在小球到达最低点的过程中只有重力做功，故根据动能定理可知mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得v=$\sqrt{2gh}$，
速度沿管道的切线方向，故重力的瞬时功率为P=mg$\sqrt{2gh}$sinθ，故C错误；
D、物体在管内下滑的加速度为a=$a=\frac{gh}{l}$，下滑所需时间为t，则l=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：t=$\sqrt{\frac{2l}{a}}=\sqrt{\frac{2{l}^{2}}{gh}}$，故D正确．
故选：AD

点评 本题主要考查了动能定理和牛顿第二定律，抓住小球在下滑过程中速度越来越大，所需要的向心力也越来越大即可．