Question

15．如图，长为l的不可伸长的轻绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球A．质量为3m的小球B放在光滑水平面上，位于O点正下方距离也为l处．将球A拉至轻绳（伸直）与水平方向的夹角θ=30^o处，由静止释放．球A到达最低点时与球B发生正碰，两小球均视为质点，重力加速度为g．求碰撞后小球A能上摆的最大高度．

Answer 1

分析 根据自由落体规律可求得小球在绳绷紧瞬间的速度，由题意根据运动的合成和分解规律可求得绳绷紧后的速度；根据碰撞过程动量守恒、机械能守恒，根据动量守恒和机械能守恒列式，联立可求得碰后小球A的速度，再根据机械能守恒定律可求得小球A能上摆的最大高度．

解答 解：由几何关系可知，小球A释放后自由下落l距离时，轻绳再次拉直．设绳被拉直前小球的速度为v₁，则有：
v₁²=2gl
绳被拉直后，小球A做圆周运动，速度变为：v₂=v₁cosθ
设小球A与B碰撞前速度为v₃，则有：
$\frac{1}{2}$mv₃²=$\frac{1}{2}$mv₂²+mg$\frac{l}{2}$
如果碰撞后小球A向右运动，则两球一定粘在一起向右运动；
设向右为正方向，根据动量守恒定律可知，最大速度应满足：
mv₃=（m+3m）v₄；
如果碰撞后小球A向左运动，则最大速度应满足：
mv₃=mv₅+3mv₆
$\frac{1}{2}$mv₃²=$\frac{1}{2}$mv₅²+$\frac{1}{2}$（3m）v₆²
解得：v₅=-$\frac{1}{2}$v₃
由于v₅＞v₄，所以碰撞后小球A上摆的最大高度h应满足：
mgh=$\frac{1}{2}$mv52
解得：h=$\frac{5}{16}$l．
答：碰撞后小球A能上摆的最大高度为$\frac{5}{16}$l．

点评 本题考查动量守恒、机械能守恒以及运动的合成和分解规律等规律的应用，要注意明确小球在绳子绷紧瞬时存在能量守恒，此时小球只保留沿绳子的垂直方向上的速度．