Question

2．如图所示，OM的左侧存在范围足够大、磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，ON（在纸面内）与磁场方向垂直且∠NOM=60°，ON上有一点P，OP=L．P点有一粒子源，可沿纸面内各个方向射出质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（不计重力），速率为$\frac{{\sqrt{6}qBL}}{4m}$，则粒子在磁场中运动的最短时间为（　　）

• A． $\frac{117πm}{180qB}$
• B． $\frac{πm}{3qB}$
• C． $\frac{πm}{4qB}$
• D． $\frac{πm}{6qB}$

Answer 1

分析 由题设件求出粒子做匀速圆周运动的半径，结合左手定则粒子做逆时针方向匀速圆周运动，若粒子能越过OM直线，则带电粒子能做完整的匀速圆周运动，则时间为T，由此可知只有沿PO方向入射的粒子时间最短，画出粒子在磁场中做匀速圆周运动最短时间的轨迹，由几何关系求出此种情况下粒子的偏转角，从而求出了最短时间．

解答 解：粒子进入磁场中做匀速圆周运动则有：$qBv=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
而将题设的v值代入得：r=$\frac{\sqrt{6}}{4}L$，
结合左手定则，则粒子在磁场中最短的时间的轨迹为沿水平方向PO入射的粒子，其部分轨迹如图所示，其中A为圆心，延长PA交OM于Q点，作AC⊥OQ于C，由几何关系知：
AQ=PQ-PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}L$-$\frac{\sqrt{6}}{4}L$，
AC=$\frac{AQ}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{8}L$，
所以∠CAB=arccos$\frac{AC}{AB}$=arccos$\frac{\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{8}L}{\frac{\sqrt{6}}{4}L}$=arccos$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$≈33°，
则粒子偏转的角度为：θ=180°-30°-33°=117°，
则粒子最短时间为：t=$\frac{117°}{360°}\frac{2πm}{qB}=\frac{117πm}{180qB}$，
所以选项BCD错误，选项A正确．
故选：A

点评 画出最短运动时间的轨迹交OM于B，作ON的垂线交OM于Q，作AC⊥OM于C，连接AB，求出AQ的长，则AC是AQ的一半，由三角函数求出∠CAB，于是偏向角∠PAB就能求出．本题涉及到三角函数，直角三角形的性质定理等，先作出辅助线，再来求偏向角，但要注意的是先要分析出最短时间的那种情况．