Question

5．如图所示，将一个折射率为n的透明长方体放在空气中，矩形ABCD是它的一个截面，一单色细光束入射到P点，入射角为θ．$\overline{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overline{AD}$，求：
（1）若要使光束进入长方体后能射至AD面上，则sinθ的最小值为多少？
（2）若要此光束在AD面上发生全反射，则sinθ的范围如何？

Answer 1

分析 （1）光束进入长方体后射至AD面上D点时折射角最小，对应的入射角最小，由几何关系求出最小的折射角正弦，再由折射定律求出sinθ的最小值．
（2）结合全反射的条件，以及折射定律和几何关系求出sinθ的范围．

解答 解：（1）光束进入长方体后射至AD面上D点时折射角最小，对应的入射角最小，设最小折射角为α，$\overline{AP}$=d．根据几何关系有
sinα=$\frac{\frac{1}{2}d}{\sqrt{（\frac{1}{2}d）^{2}+{d}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
根据折射定律有：
$\frac{sinθ}{sinα}$=n
解得sinθ的最小值为：sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$n．
（2）如图，要此光束在AD面上发生全反射，则要求射至AD面上的入射角β应满足
sinβ≥sinC
又 sinC=$\frac{1}{n}$
由数学知识有：
sinβ=cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\sqrt{1-（\frac{sinθ}{n}）^{2}}$
结合sinθ＞$\frac{\sqrt{5}}{5}$n
解得：$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜sinθ≤$\sqrt{{n}^{2}-1}$．
答：（1）若要使光束进入长方体后能射至AD面上，sinθ的最小值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$n．
（2）若要此光束在AD面上发生全反射，sinθ的范围为$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜sinθ≤$\sqrt{{n}^{2}-1}$．

点评 本题的关键是要掌握全反射的条件，能熟练运用几何知识求出相关角度，对数学几何能力要求较高．