Question

14．如图所示的坐标系，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向．在x轴上方空间的第一、第二象限内，既无电场也无磁场，在第三象限内存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直xy平面向里的匀强磁场，在第四象限内存在沿y轴负方向、场强大小与第三象限电场场强相等的匀强电场．一质量为m、电量为q的带电质点，从y轴上y=h处的P₁点以一定的水平初速度沿x轴负向进入第二象限，然后经过x轴上x=-2h处的P₂点进入第三象限，带电质点恰能做匀速圆周运动，之后经过y轴上y=-2h处的P₃点进入第四象限．试求：
（1）第三象限空间中电场强度和磁感应强度的大小；
（2）带电质点在第四象限空间运动过程中的最小速度．

Answer 1

分析 （1）带电粒子先做平抛运动，将运动分解成水平方向匀速直线运动与竖直方向自由落体运动，从而求出粒子到达P₂点时速度的大小和方向；
当带电粒子进入电场、磁场与重力场中时，重力与电场力相平衡，洛伦兹力提供向心力使其做匀速圆周运动，由平衡可得出电场强度大小，再几何关系可求出磁感应强度大小．
（2）粒子最后粒子进入电场与重力场中时，做类斜上抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动．当竖直方向的速度减小到0．此时质点速度最小，根据速度的分解求出最小速度．

解答 解：（1）质点从P₂到P₃，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，
qE=mg，
解得E=$\frac{mg}{q}$．
因为h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，${v}_{0}=\frac{2h}{t}$，v_y=gt，
解得v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=2\sqrt{gh}$，方向与x轴负方向成45°角．
qvB=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，
（2R）²=（2h）²+（2h）²，
解得B=$\frac{m}{q}\sqrt{\frac{2g}{h}}$．
（2）质点进入等四象限，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动．当竖直方向的速度减小到0，此时质点速度最小，即v在水平方向的分量
v_min=vcos45°=$\sqrt{2gh}$                                   
方向沿x轴正方向    
答：（1）第三象限空间中电场强度为$\frac{mg}{q}$，磁感应强度的大小为$\frac{m}{q}\sqrt{\frac{2g}{h}}$；
（2）带电质点在第四象限空间运动过程中的最小速度为$\sqrt{2gh}$，方向沿x轴正方向．

点评 本题考查带电粒子在场中三种运动模型：匀速圆周运动、平抛运动和类斜抛运动，考查综合分析能力，以及空间想像的能力，应用数学知识解决物理问题的能力．