Question

8．如图所示，在直角坐标系中，第一、四象限存在垂直纸面向里的足够大匀强磁场，其磁感应强度为B．在第二象限存在与y轴反方向成30°的斜向下的匀强电场．一带电量为q质量为m的正离子，从坐标原点O位置以大小为$\frac{qBd}{m}$的速度与x轴成30°角度射向第四象限．经磁场变向后，恰好在y轴上的某点进入第二象限．再从x轴上的A点离开电场．已知OA之间的距离为d．不计重力．试求
（1）离子在第一、四象限运动的时间
（2）电场强度E
（3）离子在A点的速度大小．

Answer 1

分析 （1）离子在磁场中做匀速圆周运动，周期为T=$\frac{2πm}{qB}$，离子进入第二象限时速度与y轴方向成60°，在磁场中转过的圆心角为120°，由公式t=$\frac{θ}{2π}$T，θ是轨迹对应的圆心角求解时间．
（2）离子垂直进入电场中做类平抛运动，由几何知识得到沿初速度方向和垂直于初速度两个方向的分位移，由牛顿第二定律和位移公式结合求解电场强度E．
（3）由动能定理求解离子在A点的速度大小．

解答 解：（1）离子在磁场中做匀速圆周运动，周期为T=$\frac{2πm}{qB}$．
由离子初速度与x轴成30°，可得离子在磁场中转过的圆心角为240°，运动时间为 t=$\frac{240°}{360°}$T=$\frac{4πm}{3qB}$
（2）由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$和v=$\frac{qBd}{m}$，可得离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为 R=d
又已知电场的方向，可知离子垂直进入电场，做类平抛运动，设离子从C点进入电场．
由几何关系可得，OO′=OA=OC，且OC与电场平行，AO′与电场垂直，则可知沿电场力方向的位移为d，沿初速度方向的位移为$\sqrt{3}$d
则 d=$\frac{qE}{2m}{t}^{2}$；$\sqrt{3}$d=vt
可得 E=$\frac{2{B}^{2}qd}{3m}$
（3）由动能定理得：qEd=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 v_A=$\frac{\sqrt{21}Bqd}{3m}$
答：
（1）离子在第一、四象限运动的时间为$\frac{4πm}{3qB}$．
（2）电场强度E为$\frac{2{B}^{2}qd}{3m}$．
（3）离子在A点的速度大小为$\frac{\sqrt{21}Bqd}{3m}$．

点评 本题的解题关键是画出带电粒子的运动轨迹，运用几何知识求出粒子在磁场中转过的角度和电场中的两个分位移大小，再由牛顿第二定律和运动学规律结合答题．