Question

7．2016年8月16日凌晨1时40分，全球首颗量子卫星-“墨子号”，在酒泉卫星发射中心成功发射，仅凭此次发射，中国将在防黑客通讯技术方面领先于全球．已知该卫星最后定轨在离地面500km的预定圆轨道上，已知地球的半径为6400km，同步卫星距离地面的高度约为36000km，已知引力常量G=6.67×10-¹¹N•m²/kg²，地球自转的周期T=24h，下列说法正确的是（　　）

• A． “墨子号”卫星的发射速度可能为7.8km/s
• B． 在相等的时间内，“墨子号”卫星通过的弧长约为同步卫星通过弧长的2.5倍
• C． 由上述条件不能求出地球的质量
• D． 由上述条件不能求出“墨子号”卫星在预定轨道上运行的速度大小

Answer 1

分析 1、墨子号卫星的轨道半径r比地球半径大，故中卫星的线速度一定小于第一宇宙速度7.9km/s，但发射速度要大于7.9km/s．
2、根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma$，得$a=\frac{GM}{{r}^{2}}$，由此可知，半径越大，加速度越小．
3、根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得$T=2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，所以中轨道卫星的周期T₁与静止轨道卫星的周期T₂之比为$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{（\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}）^{3}}$，代入数据可以计算得到中轨道卫星的周期．

解答 解：A、7.9km/s是第一宇宙速度，所以墨子号卫星的发射速度不可能为7.8km/s，它会落向地面，不可能成为地球的卫星，故A错误；
B、墨子号卫星的轨道半径为${r}_{1}^{\;}=R+{h}_{1}^{\;}=500km+6400km=6900km$
同步卫星的轨道半径${r}_{2}^{\;}=R+{h}_{2}^{\;}=6400km+36000km=42400$km
根据线速度公式$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，墨子号卫星的线速度和同步卫星的线速度之比为：$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}^{\;}}{{r}_{1}^{\;}}}=\sqrt{\frac{42400}{6900}}=\sqrt{6}$
弧长△s=v•△t，相同时间内墨子号通过的弧长与同步卫星通过的弧长之比为：$\frac{△{s}_{1}^{\;}}{△{s}_{2}^{\;}}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\sqrt{6}$≈2.5，故B正确；
C、根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．根据同步卫星的半径与周期可以求出地球的质量．故C错误；
D、根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，根据地球的质量与“墨子号”卫星轨道半径，可以求出“墨子号”卫星在预定轨道上运行的速度大小．故D错误．
故选：B

点评 地球卫星围绕地球做匀速圆周运动，圆心是地球的地心，万有引力提供向心力，合理选择公式解决问题；静止卫星即同步卫星有四个“定”：定轨道、定高度、定速度、定周期．