Question

12．在倾角为30°的斜面底端，木块A以某一速度沿斜面向上运动，若木块与斜面间的动摩擦因数为$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，试求：
（1）木块A在斜面上向上运动时的加速度的大小及方向；
（2）木块A在斜面上离开出发点时和回到出发点时的动能之比．

Answer 1

分析 （1）物块在斜面上向上运动时受到重力、支持力和滑动摩擦力作用，根据力的合成和分解求出物块所受合力，从而根据牛顿第二定律求出加速度；
（2）物体块在上滑和下滑的过程中摩擦力做功等于物块动能的变化，从而可以求出物体返回到出发点时的动能，即得出初末动能之比．

解答 解：（1）物块A在斜面上向上运动时物块受力如图所示：

由图知物块所受合力：F_合=mgsinθ+μmgcosθ
根据牛顿第二定律有：a₁=$\frac{{F}_{合}}{m}$=gsinθ+μgcosθ=7.5m/s²
方向沿斜面向下．
（2）同理，当物块沿斜面向下运动时，所受摩擦力沿斜面向上，则此时
  a₂=gsinθ-μgcosθ=2.5m/s²
令物块初速度为v，则物块的初动能为：
   E_k0=$\frac{1}{2}$mv²
物块在斜面上上升的最大距离 x=$\frac{0-{v}^{2}}{-2{a}_{1}}$=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$
物块上升和下滑的整个过程中只有摩擦力对物块做负功，根据动能定理有
-2μmgcosθx=E_K-$\frac{1}{2}$mv²；
代入数据得：回到出发点时的动能 E_K=$\frac{1}{6}$mv²；
所以$\frac{{E}_{k0}}{{E}_{K}}$=$\frac{3}{1}$
答：
（1）木块A在斜面上向上运动时的加速度的大小为7.5m/s²，方向沿斜面向下．
（2）木块A在斜面上离开出发点时和回到出发点时的动能之比是3：1．

点评 正确的对物体进行受力分析，能根据力的合成求解物体的加速度，能熟练运动用动能定理求物体动能的变化和根据动能的变化求外力对物体所做的功是解决本题的关键．