Question

质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上，平衡时，弹簧的压缩量为x₀，如图所示，一物块从钢板正上方距离为3x₀的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动，已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点，若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度，求物块向上运动到达最高点O点的距离．

Answer 1

物块与钢板碰撞时的速度由机械能守恒，得
   v0=

6gx0

               ①
设v₁表示质量为m的物块钢板碰撞后一起向下运动的速度，因碰撞时间极短，系统所受外力远小于相互作用的内力，符合动量守恒，故有
mv₀=2mv₁      ②
设刚碰完时弹簧的弹性势能为Ep，当他们一起回到O点时，弹簧无形变，弹簧势能为零，根据题意，由机械能守恒得   
   Ep+

1

2

(2m)

v

21

=2mgx0      ③
设v₂表示质量为2m的物块与钢板碰后开始一起向下运动的速度，由动量守恒，则有
   2mv₀=3mv₂        ④
设刚碰完时弹簧势能为Ep′，它们回到O点时，弹性势能为零，但它们仍继续向上运动，设此时速度为v₂，则由机械能守恒定律得
   

E

/p

+

1

2

(3m)

v

22

=3mgx0+

1

2

(3m)v2   ⑤
在上述两种情况下，弹簧的初始压缩量都是x₀，故有E_p′=E_p     ⑥
当质量为2m的物块与钢板一起回到O点时，弹簧的弹力为零，物块与钢板只受到重力的作用，加速度为g，一过O点，钢板受到弹簧向下的拉力作用，加速度大于g，由于物块与钢板不粘连，物块不可能受到钢板的拉力，其加速度仍为g，方向向下，故在O点物块与钢板分离．分离后，物块以速度v竖直上升，由竖直上抛最大位移公式得h=

v 2

2g

，而v=

gx0

所以物块向上运动到达的最高点距O点的距离h=

x0

2

．