题目内容

【题目】如图,两劲度系数均为k的同样的轻弹性绳的上端固定在一水平面上,下端悬挂一质量为m的小物块。平衡时,轻弹性绳与水平面的夹角为0,弹性绳长度为l0.现将小物块向下拉一段微小的距离后从静止释放。

1)证明小物块做简谐振动;

2)若k=0.50N/mm=50g0=30°l0=2.0m,重力加速度g=9.8 m/s。,求小物块做简谐振动的周期T

3)当小物块下拉的距离为0.010m时,写出此后该小物块相对于平衡位置的偏离随时间变化的方程。已知:当x<<1时,

【答案】1F=(2ksin2α0+)y;(21.8s;(3y=0.010×cos(3.5×t)

【解析】

1)取小物块的平衡位置为原点Oy轴的方向竖直向下,如图所示:

由牛顿第二定律可知

ma=mg2k(lL)sinα

式中a为物块的加速度,L为弹性绳的原长;l0为物块静止时,弹性绳的长;l分别为物块离开平衡位置的位移为y时弹性绳的长度和弹性绳与水平面的夹角。

由几何关系得

l=

sinα=

d=l0cosα0

④代入② 展开,化简得

l=

由于y是小量,y2是二阶无穷小量,可略去。得

l=

由小量展开式:当x<<1时,,知

l==l0+ysinα0

将⑤代入③,得

sinα=

x<<1时,,知

sinα=(l0sinα0+y)[ (1sinα0)]

l0sinα= l0sinα0+yy sin2α0(y2/l0)sinα0

忽略y2

l0sinα= l0sinα0+ycos2α0

sinα= sinα0+(y/l0)cos2α0

当小物块处在平衡位置时有

mg=2k(l0L)sinα0

L =l0

⑤⑥⑦(代去lLsinα)代入①

ma=mg2k[l0+ysinα0l0+][ sinα0+(y/l0)cos2α0 ]

ma=mg2k[ysin2α0+ + ]

略去y2

ma=(2ksin2α0+)y

由简谐运动的特征方程知

F=Ky

所以

K=(2ksin2α0+)

F=(2ksin2α0+)y

由此,物体的运动满足简谐运动的特征方程。因此,当y很小时,小物块做简谐运动。

2)小物块做简谐运动的周期为

T=2π=

将题给数据代入⑧,得小物块做简谐振动的周期

T=1.8s

3)因将小物块拉开距离y0=0.010m 时从静止松手,故小物块做简谐振动的振幅为A=0.010m,初始时,小物块速度为零,小物块位于最大振幅处,其初相位为

φ0=0

圆频率为

ω0=

故在国际单位制中,小物块做简谐振动的方程为

y=0.010cos(3.5t)

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