题目内容
【题目】如图,两劲度系数均为k的同样的轻弹性绳的上端固定在一水平面上,下端悬挂一质量为m的小物块。平衡时,轻弹性绳与水平面的夹角为0,弹性绳长度为l0.现将小物块向下拉一段微小的距离后从静止释放。
(1)证明小物块做简谐振动;
(2)若k=0.50N/m、m=50g、0=30°、l0=2.0m,重力加速度g=9.8 m/s。,求小物块做简谐振动的周期T;
(3)当小物块下拉的距离为0.010m时,写出此后该小物块相对于平衡位置的偏离随时间变化的方程。已知:当x<<1时,, .
【答案】(1)F回=-(2ksin2α0+)y;(2)1.8s;(3)y=0.010×cos(3.5×t)
【解析】
(1)取小物块的平衡位置为原点O,y轴的方向竖直向下,如图所示:
由牛顿第二定律可知
ma=mg-2k(l-L)sinα ①
式中a为物块的加速度,L为弹性绳的原长;l0为物块静止时,弹性绳的长;l和分别为物块离开平衡位置的位移为y时弹性绳的长度和弹性绳与水平面的夹角。
由几何关系得
l= ②
sinα= ③
d=l0cosα0 ④
④代入② 展开,化简得
l=
由于y是小量,y2是二阶无穷小量,可略去。得
l=
由小量展开式:当x<<1时,,知
l==l0+ysinα0 ⑤
将⑤代入③,得
sinα=
由 当x<<1时,,知
sinα=(l0sinα0+y)[ (1-sinα0)]
l0sinα= l0sinα0+y-y sin2α0-(y2/l0)sinα0
且 忽略y2项
l0sinα= l0sinα0+ycos2α0
sinα= sinα0+(y/l0)cos2α0 ⑥
当小物块处在平衡位置时有
mg=2k(l0-L)sinα0
即
L =l0- ⑦
⑤⑥⑦(代去l,L,sinα)代入① 得
ma=mg-2k[l0+ysinα0-l0+][ sinα0+(y/l0)cos2α0 ]
ma=mg-2k[ysin2α0+ + ]
略去y2项
ma=-(2ksin2α0+)y
由简谐运动的特征方程知
F回=-Ky
所以
K=(2ksin2α0+)
即
F回=-(2ksin2α0+)y
由此,物体的运动满足简谐运动的特征方程。因此,当y很小时,小物块做简谐运动。
(2)小物块做简谐运动的周期为
T=2π= ⑧
将题给数据代入⑧,得小物块做简谐振动的周期
T=1.8s
(3)因将小物块拉开距离y0=0.010m 时从静止松手,故小物块做简谐振动的振幅为A=0.010m,初始时,小物块速度为零,小物块位于最大振幅处,其初相位为
φ0=0 ⑨
圆频率为
ω0=
故在国际单位制中,小物块做简谐振动的方程为
y=0.010cos(3.5t)