Question

9．如图所示，光滑的水平地面上有一木板，其左端放有一重物，右方有一竖直的墙．重物质量为木板质量的2倍，重物与木板间的动摩擦因数为μ．使木板与重物以共同的速度v₀向右运动，某时刻木板与墙发生弹性碰撞，碰撞时间极短．设木板足够长，重物始终在木板上．重力加速度为g．求：
（1）设木板质量为m，木板与重物第一次与墙碰撞过程，系统动量的变化量．
（2）假设木板第二次与墙碰撞前重物恰好滑到木板另一端，木板的长度至少应是多长．
（3）木板从第一次与墙碰撞到第三次碰撞所经历的时间．

Answer 1

分析 （1）应用动量定理可以求出木板与重物第一次与墙碰撞过程，系统动量的变化量．
（2）碰撞过程系统动量守恒，应用动量守恒定律、动能定理可以求出移动的距离．
（3）应用动量定理、动能定理与运动学公式可以求出物体的运动时间．

解答 解：（1）木板第一次与墙碰撞后，木板的速度与碰撞前等大反向，而重物的速度尚未发生变化，则系统动量的变化量等于木板动量的变化量，取向右为正方向，则：
△P=-mv₀-mv₀=-2mv₀
即系统动量的变化量大小为2mv₀，方向向左．
（2）木板第一次与墙碰撞后，重物与木板相互作用直到有共同速度，以向右为正方向，由动量守恒定律有：
2mv₀-mv₀=（2m+m）v，
解得：$v=\frac{v_0}{3}$，
由功能关系得：$\frac{1}{2}$•3mv₀²-$\frac{1}{2}$•3mv²=2μmgx₂，
解得：x₂=$\frac{{v}_{0}^{2}}{12μg}$；
即木板的长度至少为$\frac{{v}_{0}^{2}}{12μg}$；
（3）木板第一次与墙碰撞后，向左匀减速直线运动，直到速度为零，然后再反向向右匀加速直线运动直到与重物有共同速度，再往后是匀速直线运动，直到第二次撞墙．
木板第一次与墙碰撞后，重物与木板相互作用，木板向左做减速运动，速度先减小到0，该过程中根据动量定理，有：0-m（-v₀）=μ×2mgt₁…①
所以：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{2μg}$…②
木板在第一个过程中，由动能定理有：-μ×2mgx₁=$0-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…③
所以：${x}_{1}=\frac{{v}_{0}^{2}}{4μg}$…④
木板向右加速到二者速度相等的过程中，设使用的时间为t₂，位移为x₂，则由动量定理：
2μmgt₂=mv-0…⑤
所以：${t}_{2}=\frac{v}{2μg}=\frac{{v}_{0}}{6μg}$…⑥
由动能定理有：$\frac{1}{2}m{v}^{2}-0=-μ2mg{x}_{2}$…⑦
所以：${x}_{2}=\frac{{v}_{0}^{2}}{36μg}$…⑧
木板在匀速运动的过程中，匀速直线运动，有：x₁-x₂=vt₃，
联立得：${t}_{3}=\frac{{2v}_{0}}{3μg}$…⑨
木板第二次与墙碰撞后，仍然是先向左匀减速直线运动，直到速度为零，然后再反向向右匀加速直线运动直到与重物有共同速度，再往后是匀速直线运动，直到第二次撞墙．
由于第二次与墙碰撞后木板的速度为$v=\frac{v_0}{3}$，结合前面的公式①到⑨可知，木板在第二次与墙壁碰撞后到第三次与墙壁碰撞前的三段时间分别为：
${t}_{4}=\frac{v}{2μg}=\frac{v}{6μg}$，${t}_{5}=\frac{v}{6μg}=\frac{{v}_{0}}{18μg}$，${t}_{6}=\frac{2v}{3μg}=\frac{{2v}_{0}}{9μg}$
木板从第一次与墙碰撞到第三次碰撞所经历的时间为：t=t₁+t₂+t₃+t₄+t₅+t₆
联立得：t=$\frac{16{v}_{0}}{9μg}$．
答：（1）设木板质量为m，木板与重物第一次与墙碰撞过程，系统动量的变化量为2mv₀，方向向左．
（2）假设木板第二次与墙碰撞前重物恰好滑到木板另一端，木板的长度至少为$\frac{{v}_{0}^{2}}{12μg}$；
（3）木板从第一次与墙碰撞到第三次碰撞所经历的时间为$\frac{16{v}_{0}}{9μg}$．

点评 本题考查动量守恒定律及动量定理的应用，要注意明确哪些过程动量是守恒的，才能根据动量守恒列式求解，分析清楚物体运动过程是正确解题的关键．
另外在第三问的解答过程中，木板在第二次与墙壁碰撞后到第三次与墙壁碰撞前的三段时间的求解过程与木板在第一次与墙壁碰撞后到第二次与墙壁碰撞前的时间求出的方法、步骤与结论都是相似的，可以使用前面的结论．