Question

18．如图所示，轻杆长为L，一端固定于转轴O，另一端固定质量为m的小球，杆绕轴O在竖直平面内以角速度ω匀速转动，重力加速度g．求：
（1）小球从最高点运动半周到最低点的时间；
（2）小球从最高点运动半周到最低点的过程中，重力的平均功率；
（3）角速度大小ω满足什么条件时，小球经过最高点时受杆的作用力向上．

Answer 1

分析 （1）根据$T=\frac{2π}{ω}$求得转动的周期，即可求得时间；
（2）根据动能定理求出杆对球做功的大小，结合平均功率的公式求出平均功率的大小．
（3）在最高点小球受到杆子的作用力向上，根据牛顿第二定律求出角速度的范围．

解答 解：（1）周期$T=\frac{2π}{ω}$
小球从最高点运动半周到最低点时间为：$t=\frac{T}{2}=\frac{π}{ω}$
（2）小球从最高点运动半周到最低点过程中重力做功为：W=mg2L
重力平均功率为：$P=\frac{W}{t}$
由以上各式解得：$P=\frac{2mgLω}{π}$
（3）设小球在最高点时受杆作用力为零时的速度v，则有：$mg=m\frac{v^2}{L}$
小球线速度v=ωL解得最大角速度为：${ω_m}=\sqrt{\frac{g}{L}}$，
所以使小球经过最高点受杆的作用力向上ω满足的条件为：$0＜ω＜\sqrt{\frac{g}{L}}$
答：（1）小球从最高点运动半周到最低点的时间为$\frac{π}{ω}$；
（2）小球从最高点运动半周到最低点的过程中，重力的平均功率为$\frac{2mgLω}{π}$；
（3）角速度大小ω满足$0＜ω＜\sqrt{\frac{g}{L}}$时，小球经过最高点时受杆的作用力向上

点评 解决本题的关键知道线速度与角速度的关系，知道圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律和动能定理进行求解