Question

17．如图所示，在绝缘水平面上固定有两根导轨，分别为直导轨（y=-2L，x≥0）和正弦曲线形导轨（y=Lsin$\frac{πx}{L}$，x≥0）．一质量为m的金属棒MN放在两导轨上，导轨的左端接有一电阻为R的定值电阻，不计其他电阻．x≥0的整个空间内存在磁感应强度大小为B、方向垂直xOy平面向外的匀强磁场（未画出）．t=0时刻，对棒施加一沿x轴正方向的水平外力F使棒从x=0处由静止开始做加速度大小为a的匀加速直线运动，棒始终与x轴垂直且与两导轨接触良好，不计一切摩擦．求：
（1）棒从x=0处运动到x=2L处的过程中通过电阻R的电荷量q；
（2）棒在t时刻受到的水平外力F的大小．

Answer 1

分析 （1）导体棒切割磁感线做匀加速直线运动，导体棒切割时相当于电源，由法拉第电磁感应定律可以求出感应电动势的大小，运用闭合电路的欧姆定律算出电流，从而求出通过电阻R的电量
（2）对导体棒，根据牛顿第二定律列出方程求出拉力大小

解答 解：（1）棒从x=0处运动到x=2L处过程中
平均感应电动势$\overline{E}=\frac{B×4{L}^{2}}{△t}$
平均感应电流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$
通过电阻R的电荷量q=$\overline{I}$△t
得q=$\frac{4B{L}^{2}}{R}$
（2）棒在t时刻运动的速度v=at
发生的位移x=$\frac{1}{2}$at²
感应电动势E=B（2L+Lsin$\frac{πx}{L}$）v
感应电流I=$\frac{E}{R}$安培力F_A=BI（2L+Lsin$\frac{πx}{L}$）
根据牛顿第二定律有F-F_A=ma
整理可得F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R}$（2+sin$\frac{πa{t}^{2}}{2L}$）²+ma．
答：（1）棒从x=0处运动到x=2L处的过程中通过电阻R的电荷量q为$\frac{4B{L}_{\;}^{2}}{R}$；
（2）棒在t时刻受到的水平外力F的大小$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}at}{R}（2+sin\frac{πa{t}_{\;}^{2}}{2L}）_{\;}^{2}+ma$．

点评 导体棒在磁场中切割时可将棒看成电源，同时求通过某截面的电量用电流的平均值．