题目内容
10.近一段时间,“嫦娥一号”卫星是国人乃至全世界最关注的事件之一.某同学在新闻报道中收集了一些关于“嫦娥一号”的数据:“嫦娥一号”卫星最终进入的工作轨道是距离月球表面h=200km、周期T1=127min的极月圆轨道,但他没有找到月球半径的数据报道,于是他想利用自己学过的物理知识来算出月球的半径R月.他又从学习资料上查到一些数据:月球的质量M月=7.4×1022kg,月球绕地球作圆周运动的周期T2=30天、轨道半径r月=3.8×105km,万有引力恒量G=6.67×10-11N•m2/kg2.根据以上数据,他写出了求解月球半径的表达式:$\frac{{{T}_{1}}^{2}}{({R}_{月}+h)^{3}}$=$\frac{{{T}_{2}}^{2}}{{{r}_{月}}^{3}}$
你认为他的这个表达式正确吗?如果正确,请利用万有引力和圆周运动公式写出推导上述表达式的过程,并求出R月的表达式(用字母表示);如果你认为这个表达式是错误的,请利用上述物理量写出正确的月球半径R月的表达式(只需用字母表示)及推导过程.
分析 卫星绕月球转和月球绕地球转的中心天体不同,则轨道半径的三次方和周期的二次方比值不同,不能用这种方法求解月球的半径.根据万有引力提供向心力,通过卫星的周期和高度以及月球的质量求出月球的半径.
解答 解:这个表达式是错误的.因为卫星绕月球转和月球绕地球转的中心天体不同,则轨道半径的三次方和周期的二次方比值不同.
根据“嫦娥一号”卫星受到的月球的万有引力提供向心力得:G$\frac{{M}_{月}{m}_{卫星}}{({R}_{月}+{h}^{)2}}$=m卫星$\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$(R月+h)
将公式变形得:(R月+h)3=$\frac{{{T}_{1}}^{2}G{M}_{月}}{4{π}^{2}}$
解得 R月=$\root{3}{{\frac{{{T_1}^2G{M_月}}}{{4{π^2}}}}}$-h.
答:该同学表达式是错的,R月的表达式 R月=$\root{3}{{\frac{{{T_1}^2G{M_月}}}{{4{π^2}}}}}$-h.
点评 该题考查对万有引力定律的理解与应用,解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论,并能灵活运用.
练习册系列答案
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