Question

13．一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳栓一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点在竖直平面内做圆周运动，测得绳的拉力F的大小随时间t的变化规律如图乙所示，△F=F₁-F₂，设R、m、引力常量G、△F均为已知量，忽略各种阻力，求：
（1）该星球的质量；
（2）若在该星球上发射一颗卫星，发射速度至少为多大？

Answer 1

分析 （1）小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律和机械能守恒定律列式可以求出重力加速度；利用万有引力等于重力，求出星球的质量M；
（2）利用重力等于万有引力列式求解发射速度．

解答 解：（1）由乙图知：小球做圆周运动在最高点拉力为F₂，在最低点拉力为F₁．
设最高点速度为v₂，最低点速度为v₁，绳长为l．
在最高点：F₂+mg=$m\frac{{v}_{2}^{2}}{l}$   ①
在最低点：F₁-mg=$m\frac{{v}_{1}^{2}}{l}$   ②
由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$=mg•2l+$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$      ③
由①②③解得：
g=$\frac{{F}_{1}-{F}_{2}}{6m}$=$\frac{△F}{6m}$        ④
在星球表面，重力等于万有引力，故“
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$            ⑤
联立④⑤解得：
M=$\frac{△F•{R}^{2}}{6Gm}$
（2）在该星球上发射一颗卫星，重力等于向心力，故：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$            ⑥
联立⑤⑥解得：
v=$\sqrt{\frac{△FR}{6m}}$
答：（1）该星球的质量为$\frac{△F•{R}^{2}}{6Gm}$；
（2）若在该星球上发射一颗卫星，发射速度至少为$\sqrt{\frac{△FR}{6m}}$．

点评 本题考查了万有引力提供向心力和万有引力等于重力两个理论，并与圆周运动结合，综合运用了牛顿第二定律和机械能守恒定律，对学生的能力要求较高，是道好题．