Question

17．如图所示，半径分别为R和r（R＞r）的甲、乙两光滑圆轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，在水平轨道CD上一轻弹簧被a、b两小球夹住，同时释放两小球，a、b球恰好能通过各自的圆轨道的最高点．则两小球的质量之比为（　　）

• A． $\frac{r}{R}$
• B． $\sqrt{\frac{r}{R}}$
• C． $\frac{R}{r}$
• D． $\sqrt{\frac{R}{r}}$

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求出a、b两球在最高点的速度，结合动能定理求出在最低点的速度，通过动量守恒定律求出两小球的质量之比．

解答 解：在最高点，根据牛顿第二定律得，${m}_{a}g={m}_{a}\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，解得a球在最高点的速度${v}_{1}=\sqrt{gR}$，
同理，b球在最高点的速度${v}_{2}=\sqrt{gr}$，
对a球，根据动能定理得，$-2{m}_{a}gR=\frac{1}{2}{m}_{a}{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{a}{{v}_{a}}^{2}$，解得${v}_{a}=\sqrt{5gR}$，
同理${v}_{b}=\sqrt{5gr}$，
规定向右为正方向，根据动量守恒定律得，0=m_bv_b-m_av_a，
则$\frac{{m}_{a}}{{m}_{b}}=\frac{{v}_{b}}{{v}_{a}}=\sqrt{\frac{r}{R}}$，故B正确，A、C、D错误．
故选：B．

点评 本题考查了动量守恒定律、动能定理、牛顿第二定律的综合运用，知道最高点的临界情况，结合牛顿第二定律求出最高点的速度是关键，以及知道a、b和弹簧组成的系统动量守恒，且总动量为零．