Question

14．飞行器常用的动力系统推进器设计的简化原理如图1所示：截面半径为R的圆柱腔分别为两个工作区，Ⅰ为电离区，将氙气电离获得1价正离子．Ⅱ为加速区，长度为L，两端加有电压，形成轴向（水平）的匀强电场．Ⅰ区产生的正离子以接近0的初速度进入Ⅱ区，被加速后以速度v_m从右侧喷出．
Ⅰ区内有轴向（水平）的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在离轴线$\frac{R}{2}$处的C点持续射出一定速度范围的电子．假设射出的电子仅在垂直于轴线（水平）的截面上运动，截面如图2所示（从左向右看）．电子的初速度方向与中心〇点和C点的连线成α角（0＜α＜90°）．
     推进器工作时，向I区注入稀薄的氙气．电子使氙气电离，电子的最小速度为v₀，电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好．已知离子质量为M；电子质量为m，电量为e，（电子碰到器壁即被吸收，不考虑电子间的碰撞）．
（1）求Ⅱ区的加速电压及离子的加速度大小；
（2）为电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且运动半径最大，请判断I区中的磁场方向（按图2 说明是“垂立纸面向里”或“垂直纸面向外”）；
（3）α为90°时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率的最大值；
（4）要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率v_m与α的关系．

Answer 1

分析 （1）粒子在区域Ⅱ中运动的过程中，只受电场力作用，电场力做正功，利用动能定理和运动学公式可解的加速电压和离子的加速度大小．
（2）因电子在I区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好，所以可知电子应为逆时针转动，结合左手定则可知磁场的方向．
（3）通过几何关系分析出离子运功的最大轨道半径，洛伦兹力提供向心力，结合牛顿第二定律可计算出离子的最大速度．
（4）画出轨迹图，通过几何关系解出轨道的最大半径，再结合洛伦兹力提供向心力列式，即可得出射出的电子最大速率v_M与α的关系．

解答 解：（1）离子在电场中加速，由动能定理得：eU=$\frac{1}{2}M{v}_{m}^{2}$
得：U=$\frac{M{v}_{m}^{2}}{2e}$
离子做匀加速直线运动，由运动学关系得：
${v}_{m}^{2}$=2aL
得：a=$\frac{{v}_{m}^{2}}{2L}$
（2）要取得较好的电离效果，电子须在出射方向左边做匀速圆周运动，即为按逆时针方向旋转，根据左手定则可知，此刻Ⅰ区磁场应该是垂直纸面向外．
（3）当α=90°时，最大速度对应的轨迹圆如图一所示，与Ⅰ区相切，
此时圆周运动的半径为：r=$\frac{3}{4}$R
洛伦兹力提供向心力，有：Bev_max=m$\frac{{v}_{max}^{2}}{r}$
得：v_max=$\frac{3BeR}{4m}$
所以有：v₀≤v≤$\frac{3BeR}{4m}$
此刻必须保证B＞$\frac{4m{v}_{0}}{3eR}$
（4）当电子以α角入射时，最大速度对应轨迹如图二所示，轨迹圆与圆柱腔相切，
此时有：∠OCO′=90°-α
OC=$\frac{R}{2}$，O′C=r，OO′=R-r，
由余弦定理有：（R-r）²=（$\frac{R}{2}$）²+r²-2r•$\frac{R}{2}$•cos（90°-α）
cos（90°-α）=sinα
联立解得：r=$\frac{3R}{8-4sinα}$
再由：r=$\frac{m{v}_{M}}{eB}$
得：v_M=$\frac{3eBR}{4m（2-sinα）}$．
答：（1）求Ⅱ区的加速电压为$\frac{M{v}_{M}^{2}}{2e}$，离子的加速度大小为$\frac{{v}_{M}^{2}}{2L}$；
（2）为取得好的电离效果，判断I区中的磁场方向是垂直纸面向外；
（3）α为90°时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率的最大值为$\frac{3BeR}{4m}$；
（4）要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率v_m与a的关系为v_M=$\frac{3eBR}{4m（2-sinα）}$．

点评 该题的文字叙述较长，要求要快速的从中找出物理信息，创设物理情境；平时要注意读图能力的培养，以及几何知识在物理学中的应用，解答此类问题要有画草图的习惯，以便有助于对问题的分析和理解；再者就是要熟练的掌握带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期和半径公式的应用．