Question

15．如图，用一根长为l=$\frac{15}{4}$m的轻质细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥体固定在水平地面上，锥体顶端到地面的竖直高度为H=4m，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，小球可以在水平面内绕锥体的轴OO₁做匀速圆周运动（sin37°=$\frac{3}{5}$；cos37°=$\frac{4}{5}$；tan37°=$\frac{3}{4}$； g取10m/s²，结果可用根式表示） 求：
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω₀至少为多大？
（2）若细线与竖直方向的夹角为α=53°时，则小球的运动速率v为多大？
（3）若细线与竖直方向的夹角为α=53°时，细线突然断裂，则小球落地点距离轴线OO₁的水平距离L为多大？

Answer 1

分析 （1）小球刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界角速度ω₀．
（2）若细线与竖直方向的夹角为53°时，小球离开锥面，由重力和细线拉力的合力提供向心力，运用牛顿第二定律求解
（3）绳子断后小球作平抛运动，根据平抛运动的特点求得水平位移，利用几何关系求得到转轴的距离

解答 解：（1）小球刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律得：
$mgtanθ={mω}_{0}^{2}lsin°$
解得${ω}_{0}=\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}=\sqrt{\frac{10}{\frac{15}{4}×0.8}}=\frac{\sqrt{30}}{3}rad/s$
（2）若细线与竖直方向的夹角为53°时，小球离开锥面，由重力和细线拉力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：
  mgtan53°=$\frac{m{v}^{2}}{lsin53°}$
得，$v=\sqrt{gltan53°sin53°}$=2$\sqrt{10}m/s$
（3）绳子断后做平抛运动，下落的高度为h，则h=H-lcos53$°=4-\frac{15}{4}×\frac{3}{5}m=\frac{7}{4}$m，下落的时间t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{7}{20}}s$，水平方向通过的位移为x=$vt=\sqrt{14}m$
小球落地点距离轴线OO₁的水平距离L为L=$\sqrt{（lsin53°）^{2}+{x}^{2}}=\sqrt{95}m$
答：（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω₀至少为$\frac{\sqrt{30}}{3}rad/s$
（2）若细线与竖直方向的夹角为α=53°时，则小球的运动速率v为$2\sqrt{10}m/s$
（3）若细线与竖直方向的夹角为α=53°时，细线突然断裂，则小球落地点距离轴线OO₁的水平距离L为$\sqrt{95}m/s$

点评 本题的关键点在于判断小球是否离开圆锥体表面，不能直接应用向心力公式求解，并要运用数学知识作出图象，难度较大