Question

16．如图a所示，间距为L的光滑平行长导轨固定在水平面上，每根导轨单位长度电阻为R₀．导轨间存在竖直方向的有界匀强磁场．不计电阻的金属杆①、②垂直导轨放置在磁场内，杆①在离开磁场边界左侧2L处，杆②在杆①右侧．磁感应强度变化规律满足B=B₀-kt （B₀、k为已知量）．

（1）若杆①和杆②都固定，求杆中的感应电流强度．
（2）若杆①和杆②以相同速度υ向右匀速运动，在杆②出磁场前，求杆中的感应电流强度．
（3）若杆①固定，t=0时，杆②从杆①右侧L处出发向右运动的过程中，保持闭合回路中磁通量不变使杆中一直无感应电流，则杆②多久后到达磁场边界？
（4）若磁感应强度保持B=B₀不变，杆①固定．杆②以一定初速度、在水平拉力作用下从杆①右侧0.5m处出发向右运动，速度υ与两杆间距x之间关系满足图b．当外力做功4.5J时，两杆间距x为多少？（第4问中可用数据如下：B₀=1T、R₀=0.1Ω/m、L=0.5m、金属杆②质量m=0.5kg）

Answer 1

分析 （1）由B=B₀-kt 求出$\frac{△B}{△t}$，由法拉第电磁感应定律求出感应电动势，再由欧姆定律求感应电流．
（2）杆①和杆②以相同速度υ向右匀速运动，回路的磁通量与静止时相同，感应电流与静电时也相同．
（3）磁通量保持不变，杆①和杆②间距x的任意位置时的磁通量等于初始时磁通量，列式求出．
（4）由v-x图象得到v=2x．求出感应电流，再由动能定理求出x．

解答 解：（1）由B=B₀-kt 得$\frac{△B}{△t}$=k
设杆①和杆②间距为x时，感应电动势 E=$\frac{△B}{△t}$Lx=kLx
感应电流为 I=$\frac{E}{2{R}_{0}x}$=$\frac{kL}{2{R}_{0}}$
（2）因为两杆的运动不影响磁通量大小，所以感应电流与静止时相同，即与（1）问中相同，仍为I=$\frac{kL}{2{R}_{0}}$．
（3）磁通量保持不变，杆①和杆②间距x的任意位置有
  B₀L²=（B₀-kt）Lx
当x=2L时 t=$\frac{{B}_{0}}{2k}$
（4）根据v-x图象可知，v=2x
感应电流 I=$\frac{E}{2{R}_{0}x}$=$\frac{{B}_{0}Lv}{2{R}_{0}x}$=$\frac{1×0.5×2}{2×0.1}$A=5A，为定值
则安培力F_A=ILB₀=2.5N
由动能定理，仅水平拉力和安培力做功，设杆①和杆②间距x，可得
 W+W_A=△E_k
即W-F_A（x-L）=$\frac{1}{2}m{v}_{t}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入得 4.5-2.5（1.87-0.5）=x²-0.25
得x=1.87m
由题意，安培力仅存在于金属杆未出磁场区域，根据x=1.5m可知金属杆已出磁场
答：
（1）杆中的感应电流强度为$\frac{kL}{2{R}_{0}}$．
（2）杆中的感应电流强度为$\frac{kL}{2{R}_{0}}$．
（3）杆②$\frac{{B}_{0}}{2k}$后到达磁场边界．
（4）当外力做功4.5J时，两杆间距x为1.87m．

点评 本题关键推导出安培力与速度的关系，正确分析功能关系，运用电磁感应与力学基本规律分析和解答．