题目内容

7．如图所示，用内壁光滑的薄壁细管弯成的“S”形轨道固定于竖直平面内，其弯曲部分是由两个半径均为 R的半圆平滑对接而成（圆的半径远大于细管内径），轨道底端D点与粗糙的水平地面相切．现有一辆质量为m的玩具小车以恒定的功率从E点开始行驶，经过一段时间t后，出现了故障，发动机自动关闭，小车在水平地面继续运动并进入“S”形轨道，从轨道的最高点A飞出后，恰好垂直撞在固定斜面B上的C点，C点与下半圆的圆心O等高．已知小车与地面之间的动摩擦因数为μ，ED之间的距离为x0，斜面的倾角为30°．求：
（1）小车从A到C的运动时间；
（2）在A点，轨道对小车作用力的大小和方向；
（3）小车的恒定功率？

分析 （1）小车离开A后做平抛运动，根据竖直方向的分运动可以求出小车的运动时间与竖直分速度，然后在C点根据运动的合成与分解可以求出小车的速度；
（2）小车在A点做圆周运动，由牛顿第二定律求出求出轨道对小车的支持力，然后由牛顿第三定律求出小车对轨道的压力；
（3）从D到A只有重力做功，机械能守恒，应用机械能守恒定律可以求出D点的速度，从E到D应用动能定理可以求出小车的功率．

解答 解：（1）小车从A到C的作平抛运动，设小车从A到C的运动时间为t′
竖直方向有3R=$\frac{1}{2}$gt′2
解得$t'=\sqrt{\frac{6R}{g}}$
（2）因小车恰好垂直撞在C点，设小车在A点时的速度为vA
有vA=gt'•tan30°
解得vA=$\sqrt{2gR}$
因为vA=$\sqrt{2gR}$＞$\sqrt{gR}$，对外轨有压力，轨道对小车的作用力向下
有mg+N=m$\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$
解得N=mg
（3）从D到A的过程中，机械能守恒
有$\frac{1}{2}$mvD2=mg•4R+$\frac{1}{2}$mvA2
小车从E到D的过程中   Pt-μmgx0=$\frac{1}{2}$mvD2
解得P=$\frac{μmg{x}_{0}+5mgR}{t}$
答：（1）小车从A到C的运动时间是$\sqrt{\frac{6R}{g}}$；
（2）在A点，轨道对小车作用力的大小是mg，方向向下；
（3）小车的恒定功率是$\frac{μmg{x}_{0}+5mgR}{t}$．

点评 小车的运动过程较为复杂，分析清楚小车的运动过程是正确解题的前提与关键；对小车应用运动的合成与分解、牛顿第二定律、机械能守恒定律、动能定理即可正确解题．

练习册系列答案
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17．下列核反应属于α衰变的是（　　）
A．${\;}_{5}^{11}$B+${\;}_{2}^{4}$He→${\;}_{7}^{14}$N+${\;}_{0}^{1}$n
B．${\;}_{13}^{27}$Al+${\;}_{1}^{2}$H→${\;}_{12}^{25}$Mg+${\;}_{2}^{4}$He
C．${\;}_{90}^{230}$Th→${\;}_{88}^{226}$Ra+${\;}_{2}^{4}$He
D．${\;}_{1}^{3}$H+${\;}_{1}^{1}$H→${\;}_{2}^{4}$He
18．在如图所示的某物体做直线运动的“a-t”图象中，引入“加速度的变化率”描述加速度变化的快慢．下述正确的是（　　）
A．t=1s时，“加速度的变化率”为1.5m/s2
B．2s内物体的速度改变量为3 m/s
C．2s内物体的速度越来越小
D．2s后“加速度的变化率”为0，物体的速度也一定为0
15．如图所示，一根左侧弯成$\frac{1}{4}$圆弧的光滑细管固定在竖直平面内，圆弧半径R=0.5m，水平部分足够长．初始时，一根质量m=1kg、与管道$\frac{1}{4}$圆弧部分等长的柔软匀质绳在水平拉力F0作用下静止在管道中．现将绳子全部缓慢拉入水平管道内，需要拉力F0做功W=1.82J．g取10m/s2，π取3.14．求：
（1）绳子的重心升高了多少？
（2）若在图示位置撤去拉力，绳子沿细管下落，当其上端离开管道瞬间速度多少？
（3）若在缓慢拉动绳子进入水平管道的很短距离△L内，可认为水平拉力F0保持不变，拉力F0做功等于绳子机械能增加量，则F0的大小为多少？
2．如图所示，两根完全相同的光滑的$\frac{1}{4}$圆弧轨道，半径为r，间距为L，它们的高度相同，即a、b在同一水平面上，轨道电阻不计．在轨道顶端连有一阻值为R的电阻，整个装置处在一竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B．现有一根长度稍大于L、电阻不计的金属棒从轨道最低位置cd开始，在拉力作用下以初速度v0向右沿轨道做匀速圆周运动至ab处，已知cd棒切割磁感线产生的感应电动势按余弦规律变化．则该过程中（　　）
A．通过R的电流方向为由e到fB．通过R的电流方向为由f到e
C．流过R的电量为$\frac{πBLr}{2R}$D．R上产生的热量为$\frac{{π{B^2}{L^2}r{v_0}}}{4R}$
12．用一根劲度系数为k=300N/m的轻质弹簧拴着一个质量m=1kg的小球，在光滑水平面上做匀速圆周运动，当弹簧长度为其原长的1.5倍时，球的角速度等于$10\sqrt{2}rad/s$．
19．如图所示，在竖直向上的匀强电场中，A球位于B球的正上方，质量相等的两个小球以相同初速度水平抛出，它们最后落在水平面上同一点，其中只有一个小球带电，不计空气阻力，下例判断正确的是（　　）
A．如果A球带电，则A球一定带负电
B．如果A球带电，则A球的电势能一定增加
C．如果B球带电，则B球一定带负电
D．如果B球带电，则B球的电势能一定增加
16．静止在水平桌面上的物体，若在水平力F的作用下仍静止不动，则物体所受摩擦力的大小（　　） 
A．等于0B．等于FC．大于FD．小于F
9．图中左边有一对平行金属板，板间加有恒定电压；两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为B0，方向平行于板面并垂直于纸面向里；金属板右下方以MN、PQ为上、下边界，MP为左边界的区域内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁场宽度为d，MN与下极板等高，MP与金属板右端在同一竖直线．一电荷量为q、质量为m的正离子，以初速度v0沿平行于金属板面、垂直于板间磁场的方向从A点射入金属板之间，不计重力．
（1）已知离子恰好做匀速直线运动，求金属板间电场强度的大小和方向．
（2）若撤去板间磁场B0，已知离子恰好从下极板的右侧边缘射出电场，方向与水平方向成30°角，求A点离下极板的高度．
（3）在（2）的情形中，为了使离子进入磁场运动后从边界MP射出且在NMPQ区域的磁场中运动的时间最长，磁场的磁感应强度B应为多大？

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