Question

15．如图所示，一根左侧弯成$\frac{1}{4}$圆弧的光滑细管固定在竖直平面内，圆弧半径R=0.5m，水平部分足够长．初始时，一根质量m=1kg、与管道$\frac{1}{4}$圆弧部分等长的柔软匀质绳在水平拉力F₀作用下静止在管道中．现将绳子全部缓慢拉入水平管道内，需要拉力F₀做功W=1.82J．g取10m/s²，π取3.14．求：
（1）绳子的重心升高了多少？
（2）若在图示位置撤去拉力，绳子沿细管下落，当其上端离开管道瞬间速度多少？
（3）若在缓慢拉动绳子进入水平管道的很短距离△L内，可认为水平拉力F₀保持不变，拉力F₀做功等于绳子机械能增加量，则F₀的大小为多少？

Answer 1

分析 （1）根据动能定理，结合拉力做功与重力做功的代数和为零，求出重心上升的高度．
（2）根据动能定理，求出其上端离开管道瞬间速度．
（3）拉力做功，效果等同于底端长△L的绳子被拉到水平管内，由动能定理，结合△L长度的质量求出F₀的大小．

解答 解：（1）绳子缓慢拉入水平管道重心升高h，
由动能定理：W+W_G=0
W=mgh
代入数据解得h=0.182m．
（2）由动能定理（或机械能守恒）
W_G=△E_K
$mg（\frac{πR}{4}+R-h）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入数据解得v=3.77m/s．
（3）拉力做功，效果等同于底端长△L的绳子被拉到水平管内，由动能定理得，
${F}_{0}△L=△mg（R-\frac{△L}{2}）≈$△mgR
其中$△m=m\frac{△L}{\frac{1}{2}πR}$，
解得${F}_{0}=\frac{2mg}{π}$，代入数据解得F₀=6.37N．
答：（1）绳子的重心升高了0.182m；
（2）若在图示位置撤去拉力，绳子沿细管下落，当其上端离开管道瞬间速度为3.77m/s；
（3）F₀的大小为6.37N．

点评 本题考查了动能定理的综合运用，在第一问中，抓住合力做功等于零求出重心上升的高度，在第二问中，对绳子运用动能定理，抓住重力做功等于动能的变化量进行求解．第三问难度较大，需要转换思维，可以把拉力做功等效成底端长△L的绳子被拉到水平管内．