Question

【题目】如图所示，竖直平面内的直角坐标系xOy中有一根表面粗糙的粗细均匀的细杆OMN，它的上端固定在坐标原点O处且与x轴相切．OM和MN段分别为弯曲杆和直杆，它们相切于M点，OM段所对应的曲线方程为.一根套在直杆MN上的轻弹簧下端固定在N点，其原长比杆MN的长度短．可视为质点的开孔小球(孔的直径略大于杆的直径)套在细杆上．现将小球从O处以v0＝3m/s的初速度沿x轴的正方向抛出，过M点后沿杆MN运动压缩弹簧，再经弹簧反弹后恰好到达M点．已知小球的质量0.1kg，M点的纵坐标为0.8m，小球与杆间的动摩擦因数μ＝，g取10m/s2.求：

(1) 上述整个过程中摩擦力对小球所做的功Wf；

(2) 小球初次运动至M点时的速度vM的大小和方向；

(3) 轻质弹簧被压缩至最短时的弹性势能Epm.

Answer 1

【答案】（1）Wf＝－1.25J；（2）vM＝5 m/s，vM的方向与x轴正方向成夹角θ＝53°；（3）Epm＝5.625J

【解析】

(1) 对题述过程由动能定理得：WG＋Wf＝0－，代入数据解得Wf＝－1.25J．

(2) 假设小球抛出后做平抛运动，根据平抛运动规律可得x＝v0t，y＝，代入数据解得：y＝x2，与OM曲线方程一致，说明小球在OM段运动过程中与细杆OM无摩擦，做平抛运动：由动能定理WG＝－，代入数据解得vM＝5 m/s，由运动的合成和分解可得vM的方向与x轴正方向夹角的余弦值：cos θ＝＝，即θ＝53°.

(3)小球从M点开始直至小球被弹回M点的过程中，摩擦力所做的功Wf1，－2Wf1＝0－，求得Wf＝－1.25 J，又由Wf＝－μmgxmcos θ得，小球下滑的最大距离xm＝6.25 m

在小球从M点开始直至将弹簧压缩到最短过程中，由动能定理得：mgxmsin θ＋Wf1＋W弹＝0－，又根据功能关系得Epm＝－W弹，代入数据解得Epm＝5.625 J．