Question

11．假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g₀，飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球作圆周运动．
求：（1）飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间；
（2）飞船在轨道Ⅰ上的运行速率．

Answer 1

分析 （1）设飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为T，重力等于万有引力，列式求解即可；
（2）设月球的质量为M，飞船的质量为m，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律即可解题；

解答 解：（1）设飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为T，则：
mg₀=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$
解得：
T=$2π\sqrt{\frac{R}{g_0}}$
（2）设月球的质量为M，飞船的质量为m，则：
$G\frac{Mm}{（4R）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{4R}$
解得：
v=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{g}_{0}R}$
答：（1）飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间是$2π\sqrt{\frac{R}{g_0}}$；
（2）飞船在轨道Ⅰ上的运行速率是$\sqrt{{g}_{0}R}$．

点评 本题主要考查了万有引力公式及向心力公式的直接应用，要注意飞船做近心运动时万有引力大于向心力．