Question

12．如图所示，一个半径为R的透明半球体固定在水平面上，O为球心．两束蓝光分别从A点和B点沿水平方向垂直入射面射入半球体，已知OA=OB，该球体对蓝光的折射率为$\sqrt{3}$，真空中的光速为c．
?①若OA=$\frac{1}{2}$R时，两束光在传播过程中的交点为P，求OP的距离；
?②若OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R时，求其中一束光在半球体中的传播时间．

Answer 1

分析 ?①若OA=$\frac{1}{2}$R时，两束光在传播过程中的交点为P，先由几何知识求出光线在圆弧面上的入射角，由折射定律求得折射角，再由几何关系求OP的距离；
?②若OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R时，可判断出光线在半球体内发生全反射，作出光路图，求出光线在半球中传播的距离，由v=$\frac{c}{n}$求得光线在半球内传播速度，从而求得传播时间．

解答 解：??①若OA=$\frac{1}{2}$R时，如下图所示，由几何知识可知

sinα=$\frac{OA}{R}$=$\frac{1}{2}$，α=30°，∠COD=60°
由折射定律知 $\frac{sinβ}{sinα}$=n=$\sqrt{3}$
可得 β=60°
由几何关系知四边形OCPD为菱形，OP=$\sqrt{3}$R
②?若OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R时，如下图所示，由几何知识可知

sinθ=$\frac{OA}{R}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，θ=60°
设临界角为C，则sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
则sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞sinC，θ＞C，所以光在C处发生全发射
△OCD和△ODE均为等边三角形，光在D、E处均发生全反射
光在透明半球中传播的路程 l=2Rcos60°+2R=3R
光在透明半球中传播的速度大小 v=$\frac{c}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c
所以，传播时间 t=$\frac{l}{v}$=$\frac{3\sqrt{3}R}{c}$
答：?①若OA=$\frac{1}{2}$R时，两束光在传播过程中的交点为P，OP的距离是$\sqrt{3}$R；
?②若OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R时，其中一束光在半球体中的传播时间是$\frac{3\sqrt{3}R}{c}$．

点评 本题的关键是要熟练掌握光的折射定律和全反射条件，结合几何知识，即可研究这类问题．