题目内容

3．导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识．如图1所示，固定于水平面的U形导线框处于竖直向下的匀强磁场中，金属直导线MN在与其垂直的水平恒力F的作用下，在导线框上以速度v做匀速运动，速度v与恒力F方向相同，导线MN始终与导线框形成闭合电路，已知导线MN电阻为R，其长度L，恰好等于平行轨道间距，磁场的磁感应强度为B，忽略摩擦阻力和导线框的电阻．

（1）通过公式推导验证：在时间内△t，F对导线MN所做的功W等于电路获得的电能W′，也等于导线MN中产生的焦耳热Q．
（2）若导线的质量m=8.0g，长度L=0.1m，感应电流I=1.0A，假设一个原子贡献1个自由电子，计算导线MN中电子沿导线长度方向定向移动的平均速率v（下表中列出了一些你可能用到的数据）．
阿伏伽德罗常数NA6.0×1023mol-1
元电荷e1.6×10-19C
导线MN的摩尔质量μ6.0×10-2kg/mol
（3）若将金属棒MN与导轨成θ角放置，其长度为d，当金属棒沿水平方向以恒定速度v在金属导轨上滑行时，求安培力的大小、安培力的功率大小以及闭合回路中电功率大小．（如图2为俯视图，MN电阻为R，磁场的磁感应强度为B，忽略摩擦阻力和导线框的电阻）．

分析 （1）根据切割公式求解感应电动势，根据闭合电路欧姆定律求解感应电流，根据安培力公式求解安培力，根据功的定义求解安培力功，根据W=EIt求解电流的功；
（2）先根据阿伏加德罗常数求解单位体积内的分子数，然后根据电流的微观表达式求解电荷的平均速率；
（3）根据法拉第电磁感应定律求解感应电动势，根据安培力的计算公式求解安培力大小；根据P=Fvsinθ求解克服安培力做功功率，电功率与克服安培力做功功率相等求解电功率．

解答 解：（1）导体切割磁感线，产生的动生电动势  E=BLυ                         
感应电流  I=$\frac{E}{R}=\frac{BLv}{R}$，
导线受到的安培力  FA=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
匀速运动时拉力和安培力相等，即F=FA，
力F做功  W=F△x=Fυ△t=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$△t            
电能  W电=EI△t=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$△t，
焦耳热  Q=I2R△t=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{{R}^{2}}$R△t=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$△t 
可知，W=W电=Q；
（2）总电子数 N=NA$\frac{m}{μ}$
设单位体积内电子数为n，则N=nSL
故：I△t=enSυe△t
得：I=enSυe=eυe$\frac{N}{L}$=eυe$\frac{{N}_{A}m}{Lμ}$
所以  υe=$\frac{μIL}{em{N}_{A}}$=7.8×10-6 m/s
（3）导线运动的时产生的感应电动势E=BLvsinθ，
导线中的感应电流为I=$\frac{E}{R}$，
导线受到的安培力为F安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}sinθ$，
安培力的功率为P安=F安vsinθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}si{n}^{2}θ$，
所以回路中的电功率为P电=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}si{n}^{2}θ$．
答：（1）验证过程见解析；
（2）导线MN中电子沿导线长度方向定向移动的平均速率为7.8×10-6m/s；
（3）安培力的大小为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}sinθ$，安培力的功率大小为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}si{n}^{2}θ$，闭合回路中电功率大小为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}si{n}^{2}θ$．

点评 本题关键是从功能关系的角度理解电磁感应的微观机理，应用切割公式、闭合电路欧姆定律公式、安培力公式、电流的微观表达式、功能关系等列式求解即可；注意E=BLv中的v是垂直于L的速度．

练习册系列答案
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15．木星是太阳系中卫星数目最多的行星，“艾奥”是木星最亮的四颗卫星之一，距木星的距离排在第九，它首先被伽利略所发现．某同学在互联网上查到“艾奥”的部分信息如下表所示：
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