Question

15．如图所示，一个质量为m、电荷量为q的正离子，在D处沿图示方向以一定的速度射入磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里．结果离子正好从距A点为d的小孔C沿垂直于电场方向进入匀强电场，此电场方向与AC平行且向上，最后离子打在G处，而G处距A点2d（AG⊥AC）．不计离子重力，离子运动轨迹在纸面内．求：
（1）此离子射入磁场时的速度v₀；
（2）离子从D处运动到G处所需时间t；
（3）离子到达G处时的动能E_k．

Answer 1

分析 （1）画出离子的运动轨迹，由几何知识求出离子在磁场中做圆周运动的半径r．则有$q{v_0}B=m\frac{v_0^2}{r}$求解初速度；
（2）离子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律和圆周运动公式结合可求出半径和周期．找出离子在磁场中圆周运动时轨迹所对应的圆心角，可求得时间．离子进入电场后做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速运动，由运动学公式即可求出离子在电场中运动的时间．即能求出总时间．
（3）由牛顿第二定律和运动学公式可求出离子在电场中偏转的距离，根据动能定理求出离子到达G处时的动能．

解答 解：（1）正离子轨迹如图所示：

圆周运动半径r满足：d=r+rcos60°
解得r=$\frac{2}{3}d$
设离子在磁场中的运动速度为v₀，
则有：$q{v_0}B=m\frac{v_0^2}{r}$
得${v_0}=\frac{2qBd}{3m}$
 （2）T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{Bq}$ 
由图知离子在磁场中做圆周运动的时间为：
${t_1}=\frac{1}{3}T=\frac{2πm}{3Bq}$
离子在电场中做类平抛运动，从C到G的时间为：t₂=$\frac{2d}{{v}_{0}}$=$\frac{3m}{Bq}$ 
离子从D→C→G的总时间为t=t₁+t₂=$\frac{（9+2π）m}{3Bq}$
（3）设电场强度为E，
则有：qE=ma
d=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
根据动能定理得：$qEd={E_k}-\frac{1}{2}mv_0^2$
解得：${E_k}=\frac{{4{B^2}{q^2}{d^2}}}{9m}$
答：（1）此离子射入磁场时的速度v₀为$\frac{2qBd}{3m}$；
（2）离子从D处运动到G处所需时间t为$\frac{（9+2π）m}{3Bq}$；
（3）离子到达G处时的动能为$\frac{4{B}^{2}{q}^{2}{d}^{2}}{9m}$．

点评 本题离子在组合场中运动的问题，离子在磁场中运动画轨迹是解题的关键，在电场中运用运动的分解进行研究结合动能定理解动能较简单些．