Question

9．如图甲所示，在竖直平面内有一个直角三角形斜面体，倾角θ为30°，斜边长为x₀．斜面顶部安装一个小的定滑轮，跨过定滑轮细绳连接两个物体A、B（均可视为质点），其质量分别为m₁、m₂，m₁与斜面摩擦因数为$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，滑轮摩擦不计．开始时A处于斜面最顶部O点，并取斜面底面所处的水平面为零重力势能面；B物体距离零势能面的距离为$\frac{x_0}{2}$．现对A物体施加一个平行斜面斜向下的恒力F，使A物体由静止起沿斜面向下运动．在B物体竖直上升过程中，B物体的机械能随上升高度h的变化规律如图乙，则结合图象可求：

（1）B物体最初的机械能E₁；
（2）B物体上升x₀时的机械能E₂；
（3）恒力F的大小．

Answer 1

分析 （1）、（2）物体具有的机械能等于物体的动能与势能之和，利用图象信息即可求得机械能．
（3）利用机械能的概念求出上升x₀时B物体的速度，再以AB组成的系统，再利用动能定理即可求得恒力的大小．

解答 解：（1）B物体最初的机械能 ${E_1}={E_{K1}}+{E_{P1}}=0+（-{m_2}g\frac{x_0}{2}）=-\frac{1}{2}{m_2}g{x_0}$
（2）由图象中几何关系知，B物体上升x₀时的机械能为 ${E_2}=3|{E_1}|=\frac{3}{2}{m_2}g{x_0}$
（3）上升x₀时B物体的动能 ${E_{K2}}={E_2}-E_{P2}^{\;}=\frac{3}{2}{m_2}g{x_0}-{m_2}g\frac{x_0}{2}={m_2}g{x_0}=\frac{1}{2}{m_2}{v^2}$
上升x₀时B物体的速度 $v=\sqrt{2g{x_0}}$
A、B运动过程中，由动能定理：$F{x_0}+{m_1}gsinθ{x_0}-μ{m_1}gcosθ{x_0}-{m_2}g{x_0}=\frac{1}{2}（{m_1}+{m_2}）{v^2}$
可得 $F=2{m_2}g+\frac{3}{4}{m_1}g$
答：
（1）B质点最初的机械能E₁为-$\frac{1}{2}$m₂gx₀．
（2）上升x₀时B物体的机械能E₂为$\frac{3}{2}$m₂gx₀．
（2）恒力F的大小为（2m₂g+$\frac{3}{4}{m}_{1}g$）．

点评 本题主要考查了动能定理与运动学及牛顿第二定律的综合运用，利用好图象信息是解题的关键．